Тема №1 производная и дифференциал функции

Понятие производной функции и понятие дифференциала функции являются одними из основных понятий математического анализа. Производная характеризует быстроту изменения функции при изменении её аргумента и может быть использована при математическом описании динамики химических реакций, при нахождении градиентов скорости, давления, концентрации, температуры и других величин.

Цель занятия:

• Уметь объяснить физический смысл производной первого и второго порядков.

• Научиться находить производные от элементарных и сложных функций.

• Научиться находить производные высших порядков.

• Научиться находить дифференциалы функций.

• Научиться приближенно вычислять функции с помощью дифференциала.

Теоретическая часть

1. Определение производной

Пусть на интервале ]а,в[ определена функция у=f(x). При приращении аргумента х функция получит приращение f, которое определится равенством: f=f(x+x)-f(x), тогда отношение:

выражает среднюю скорость изменения функции f(x) относительно аргумента х на интервале ]х, х+х[.

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда х0, при условии, что этот предел существует, называется производной функции в точке х]а,в[:

2. Механический смысл производной

Решение задачи о нахождении скорости различных процессов приводит к понятию производной функции. Рассмотрим скорость прямолинейного движения. Пусть тело, двигаясь с переменной скоростью, прошло путь S, тогда средняя скорость равна:

,

где t- время движения тела. Разобьем весь путь на n отдельных участков:S₁, S₂,…,S_n, пройденные соответственно за время: t₁, t₂,..,t_n, тогда скорости на этих участках:

Если величину участков уменьшить, т.е. задать t0, то средняя скорость стремится к пределу, который представляет собой скорость движения тела в данный момент времени или мгновенную скорость:

Таким образом, мгновенная скорость есть предел отношения приращения пути к приращению времени, когда приращение времени стремится к нулю.

3. Геометрический смысл производной

Пусть функция у=f(x) задана графически. Возьмем на кривой произвольно точку М(х,у). Зададим приращение аргументу х, тогда функция получит приращение у и на графике мы получим точку М₁ с координатами (х+х;у+у). Проведем секущую ММ₁ и обозначим угол наклона секущей к оси Ох через : tg=y/x

Рис 1. Геометрический смысл производной и дифференциала функции.

Пусть х0, тогда точка М₁ будет стремиться к точке М, величина угла  будет изменяться. При приближении ММ₁ к касательной МТ, угол  приближается к углу , следовательно, tg равен угловому коэффициенту касательной:

Таким образом, геометрический смысл производной заключается в том, что она есть угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке.

4. Основные свойства производных

1. Производная постоянной величины равна нулю.

, где С=const

2. Постоянный множитель выносится за знак производной.

3. Производная аргумента по самому аргументу равна единице: х_х=1.

4. Производная алгебраической сумму функций равна алгебраической сумме производных этих функций:

(uϑ)_x=u_xϑ_x

Например: (х⁵+sinx-1)_x=(x⁵)_x+(sinx)_x-(1)_x=5x⁴+cosx

5. Производная произведения двух функций определяются по формуле: (u)_x=u_x+u_x

Например: (е^х·lnx)_x =е^х(lnx)_x+ (е^х)_xlnx=e^x· +е^xlnx

6. Производная частного двух функций определяются по формуле:

Н апример:

5. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

1. приС=const; 9.

2. ; 10.

3. 11.

4. ; 12.

5. ; 13.

6. ; 14.

7. ; 15.

8. ;