§ 4. Интегрирование ду второго порядка с постоянными коэффициентами

П. 1. Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Частным случаем рассмотренных выше ЛОДУ являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Пусть дано ЛОДУ второго порядка (1), где p и q постоянные.

Для нахождения общего решения уравнения (1) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему.

Будем искать частные решения уравнения (1) в виде , где k – некоторое число. Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для в уравнение (1), получим: , т.е. , или (2).

Определение 1. Уравнение (2) называется характеристическим уравнением ДУ (1) (для его составления достаточно в уравнении (1) заменить , и соответственно на , и 1).

При решении характеристического уравнения (2) возможны следующие три случая.

Случай 1. Корни k₁ и k₂ уравнения (2) действительные и различные: k₁ ≠ k₂ .

В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функции и . Они образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы), т.к. их вронскиан .

Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид (3)

Случай 2. Корни k₁ и k₂ характеристического уравнения (2) действительные и равные: k₁ = k₂ ( k₁ = k₂ = ).

В этом случае имеем лишь одно частное решение .

Покажем, что наряду с y₁ решением уравнения (1) будет и .

Действительно, подставим функцию y₂ в уравнение (1). Имеем:

Но , т.к. k₁ есть корень уравнения (2); , т.к. по условию k₁ = k₂ = .

Поэтому , т.е. функция является решением уравнения (1).

Частные решения и образуют фундаментальную систему решений: . Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ (1) имеет вид (4).

Случай 3. Корни k₁ и k₂ характеристического уравнения (2) комплексные: , ( , , ).

В этом случае частными решениями уравнения (2) являются функции , . По формулам Эйлера , имеем , .

Найдем два действительных решения уравнения (1). Для этого составим две линейные комбинации решений y₁ и y₂: и .

Функции и являются решениями уравнения (1), что следует из свойств решений ЛОДУ второго порядка. Эти решения и образуют фундаментальную систему решений, т.к. W(x) ≠ 0. Поэтому общее решение уравнения (1) запишется в виде (5).

Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами (1) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (2) и использованию формул (3) – (5) общего решения уравнения (не прибегая к вычислению и интегралов).

П. 2. Интегрирование ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами

Задача нахождения общего решения ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами (1), где – числа, решается аналогично случаю уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Сформулируем необходимые утверждения.

Частные решения уравнения (1) также ищем в виде , где k – постоянное число.

Характеристическим для уравнения (1) является алгебраическое уравнение n-го порядка вида (2).

Уравнений (2) имеет, как известно, n корней (в их числе могут быть и комплексные). Обозначим из через k₁, k₂, …, k_n.

Замечание. Не все из корней уравнения (2) обязаны быть различными. Если уравнение имеет несколько равных корней, в частности два: k₁ = k₂ = 3, то в этом случае говорят, что корень один (k = 3) и имеет кратность m_k = 2. Если кратность корня равна единице: m_k = 1, то его называют простым.

Случай 1. Все корни уравнения (2) действительны и различны. Тогда функции , , ..., являются частными решениями уравнения (1) и образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы). Поэтому общее решение уравнения (1) записывается в виде .

Случай 2. Все корни характеристического уравнения (2) действительные, но не все простые (есть корни, имеющие кратность m > 1). Тогда каждому простому корню k соответствует одно частное решение вида . А каждому корню k кратности m > 1 соответствует m частных решений: , , , ..., .

Случай 3. Среди корней уравнения (2) есть комплексно-сопряженные корни. Тогда каждой паре простых комплексно-сопряженных корней соответствует два частных решения и , а каждой паре корней кратности m > 1 соответствуют 2m частных решений вида , x , …, x^m-1 ; , x , …, x^m-1 . Эти решения образуют фундаментальную систему решений.