§ 6. Системы дифференциальных уравнений

П. 1. Основные понятия

Для решения многих задач математики, физики, техники (задач динамики криволинейного движения; задач электротехники для нескольких электрических цепей; определения состава системы, в которой протекают несколько последовательных химических реакций I порядка; отыскания векторных линий поля и других) нередко требуется несколько функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, образующим систему.

Определение 1. Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные.

Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей n искомых функций y₁, y₂, …, y_n, следующий:

Определение 2. Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. система вида

(1) называется нормальной системой ДУ. При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

Замечание. Во многих случаях системы уравнений и уравнения высших порядков можно привести к нормальной системе вида (1).

Определение 3. Решением системы (1) называется совокупность из n функций y₁, y₂, …, y_n, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Начальные условия для системы (1) имеют вид (2).

Задача Коши для системы (1) ставится следующим образом: найти решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).

Условия существования и единственности решения задачи Коши описывает теорема, приводимая здесь без доказательства.

Теорема Коши. Если в системе (1) все функции непрерывны вместе со всеми своими производными по y_i в некоторой области D ((n + 1)-мерного пространства), то в каждой точке этой области существует, и притом единственное, решение y₁ = φ₁(x), …, y_n = φ_n(x) системы, удовлетворяющее начальным условиям (2).

Меняя в области D точку M₀ (т.е. начальные условия), получим бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде решения, зависящего от n произвольных постоянных: ,..., .

Это решение является общим, если по заданным начальным условиям (2) можно однозначно определить постоянные c₁, c₂, …, c_n из системы уравнений

Решение, получающееся из общего при конкретных значениях постоянных c₁, c₂, …, c_n, называется частным решением системы (1).

П. 2. Интегрирование нормальных систем

Одним из основных методов интегрирования нормальной системы ДУ является метод сведения системы к одному ДУ высшего порядка. Техника этого метода основана на следующем.

Пусть задана нормальная система (1). Продифференцируем по x любое, например первое, уравнение: . Подставив в это равенство значения производных из системы (2), получим , или, коротко, . Продифференцировав полученное равенство еще раз и заменив значения производных из системы (1), получим . Продолжая этот процесс (дифференцируем – подставляем – получаем), находим: .

Соберем полученные уравнения в систему:

(3) Из первых (n – 1) уравнений системы (3) выразим функции y₂, y₃,…,y_n через x, функцию y₁ и ее производные y’₁, y’’₁,…, .

Получим: (4) Найденные значения y₂, y₃,…,y_n подставим в последнее уравнение системы (3). Получим одно ДУ n-го порядка относительно искомой функции y₁: . Пусть его общее решение есть . Продифференцировав его (n – 1) раз и подставив значения производных y’₁, y’’₁,…, в уравнение системы (4), найдем функции y₂, y₃,…,y_n: ,..., .

Замечание. Систему уравнений (1) можно решать методом интегрируемых комбинаций. Суть метода состоит в том, что посредством арифметических операций из уравнений данной системы образуют так называемые интегрируемые комбинации, т.е. легко интегрируемые уравнения относительно новой неизвестной функции.

П. 3. Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами

Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы уравнений (1) в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т.е. систему вида

Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями y₁, y₂ и y₃:

(6), где все коэффициенты – постоянные.

Будем искать частное решение системы (6) в виде , , (7), где α, β, γ, k – постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции (7) удовлетворяли системе (6).

Подставив эти функции в систему (6) и сократив на множитель , получим: или (8).

Систему (8) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными α, β, γ. Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю: . (9)

Определение 4. Уравнение (9) называется характеристическим уравнением системы (6).

Раскрыв определитель, получим уравнение третей степени относительно k. Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны: k₁, k₂, k₃. Для каждого корня напишем систему (8) и определим коэффициенты α_i, β_i, γ_i (один из коэффициентов можно считать равным единице). Таким образом, получаем:

для корня k₁ частное решение системы (6): , , :

для корня k₂ – , , ;

для корня k₃ – , , .

Можно показать, что все эти функции образуют фундаментальную систему, общее решение системы (6) записывается в виде

,

, (10)

.

Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные: , , k₃. Вид частных решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае 1.

Замечание. Вместо полученных частных решений можно взять их линейные комбинации (§ 4 П. 1, случай 3), применяя формулы Эйлера; в результате получим два действительных решения, содержащих функции вида и . Или, выделяя действительные и мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим два действительных частных решения. При этом понятно, что комплексно-сопряженный корень не даст новых линейно независимых действительных решений.

Случай 3. Характеристическое уравнение имеет корень k кратности m (m = 2, 3). Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде: а) если m = 2, то , , ;

б) если m = 3, то , , .

Это решение зависит от m произвольных постоянных. Постоянные A, B, C, …, N определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через m из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим m линейно независимых частных решений системы(6).