§ 5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)

П. 1. Структура общего решения ЛНДУ второго порядка

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка (1), где a₁(x), a₂(x), f(x) – заданные, непрерывные на (a; b) функции. Уравнение (2), левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (1), называется соответствующим ему однородным уравнением.

Теорема 1 (структура общего решения ЛНДУ). Общим решением y уравнения (1) является сумма его произвольного частного решения y* и общего решения соответствующего однородного уравнения (2), т.е. (3).

Доказательство: убедимся, что функция (3) – решение уравнения (1). Так как y* есть решение уравнения (1), а – решение уравнения (2), то и . В таком случае имеем:

Это означает, что функция является решением уравнения (1). Покажем теперь, что функция (4) является общим решением уравнения (1). Для этого надо доказать, что из решения (4) можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям , (5).

Продифференцировав функцию (4) и подставив начальные условия (5) в функцию (4) и ее производную, получим систему уравнений: , где , , с неизвестными c₁ и c₂. Определителем этой системы является определитель Вронского W(x₀) для функции y₁(x) и y₂(x) в точке x = x₀. Функции y₁(x) и y₂(x) линейно независимы (образуют фундаментальную систему решений), т.е. W(x₀)≠ 0. Следовательно, система имеет единственное решение: и .

Решение является частным решением уравнения (1), удовлетворяющим заданным начальным условиям (5). Ч.Т.Д.

П. 2. Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим ЛНДУ (1). Его общим решением является функция (3), т.е. . Частное решение y* уравнения (1) можно найти, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (2), методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящим в следующем. Пусть = – общее решение уравнения (2). Заменим в общем решении постоянные c₁ и c₂ неизвестными функциями c₁(x) и c₂(x) и подберем их так, чтобы функция y* = (6) была решением уравнения (10. Найдем производную (y*)’ = . Подберем функции c₁(x) и c₂(x)так, чтобы (7). Тогда , .

Подставляя выражение для y*, (y*)’ и (y*)” в уравнение (1), получим или Поскольку y₁(x) и y₂(x) – решения уравнения (2), то выражения в квадратных скобках равны нулю, а потому (8). Таким образом, функция (6) будет частным решением y* уравнения (1), если функции c₁(x) и c₂(x) удовлетворяют системе уравнений (7) и (8): (9)

Определитель системы , т.к. это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений y₁(x) и y₂(x) уравнения (2). Поэтому система (9) имеет единственное решение: и – некоторые функции x. Интегрируя эти функции, находим c₁(x) и c₂(x), а затем по формуле (6) составляем частное решение уравнения (1).

При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной следующая теорема.

Теорема 2 (о наложении решений). Если правая часть уравнения (1) представляет собой сумму двух функций: f(x) = f₁(x) + f₂(x), y*₁ и y*₂ – частные решения уравнений и соответственно, то функция y* = y*₁ + y*₂ является решением данного уравнения.

П. 3. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнение (10), p, q – некоторые числа.

Согласно теореме 1, общее решение уравнения (10) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения y* неоднородного уравнения. Частное решение уравнения (10) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.

Для уравнений с постоянными коэффициентами (10) существует более простой способ нахождения y*, если правая часть f(x) уравнения (10) имеет так называемый «специальный вид»:

I.

II. .

Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (10) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (10) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.

Случай Правая часть уравнения (10) имеет вид , где , – многочлен степени n. Уравнение (10) запишется в виде (11). В этом случае частное решение y* ищем в виде (12), где r – число, равное кратности α как корня характеристического уравнения (т.е. r – число, показывающее, сколько раз α является корнем характеристического уравнения), а – многочлен степени n, записанный с неопределенными коэффициентами .

Случай 2. Правая часть уравнения (10) имеет вид , где и – многочлены степени n и m соответственно, α и β – действительные числа. Уравнение (10) запишется в виде (13).

Можно показать, что в этом случае частное решение y* уравнения (13) следует искать в виде (14), где r – число, равное кратности как корня характеристического уравнения, и – многочлены степени l с неопределенными коэффициентами, l – наивысшая степень многочленов и , т.е. .

Замечания. 1. После подстановки функции (14) в (13) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения.

2. Форма (14) сохраняется и в случаях, когда ≡ 0 или ≡ 0.

3. Если правая часть уравнения (10) есть сумма функция вида I или II, то для нахождения y* следует использовать теорему 2 о наложении решений.