3.2. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме
Первый закон Кирхгофа
.
Второй закон Кирхгофа
.
Правило составления операторных уравнений по I и II законам Кирхгофа точно такое, как для действительных токов.
Для
k-ой
ветви, содержащей элементы
,
имеем:
.
Согласно (8-10), операторное уравнение при ненулевых начальных условиях имеет вид
или
.
Величину
(11)
называют обобщенным, или операторным сопротивлением ветви.
Операторная запись законов Кирхгофа
.
Закон Ома для k-й ветви
.
Следует
отметить, что структура записи операторного
сопротивления ветви и комплексное
сопротивление той же ветви тождественны.
Одно из другого можно получить заменой
на
,
т.е.
.
При нулевых начальных условиях способ расчета любых сложных цепей при переходных процессах операторным методом аналогичен способам расчета установившихся процессов комплексным методом.
При ненулевых начальных условиях II закон Кирхгофа можно записать
.
Рассматривая
члены
и
как ЭДС добавочных источников энергии
в контурах, можно использовать все общие
методы расчета сложных цепей.
При расчете токов переходных процессов в сложных цепях операторным методом необходимо составить для данной цепи эквивалентную операторную схему замещения. В этом случае необходимо знать операторные схемы замещения отдельных схемных элементов (рис. 6).
Рис.6. Соответствие изображений с ненулевыми начальными условиями во временной и операторной областях
В частности, можно воспользоваться методом наложения и рассчитать процесс в цепи сначала при нулевых начальных условиях, а затем наложить на него процесс, возникающий только под действием одних добавочных ЭДС, т.е. обусловленный первоначальным запасом энергии в цепи.
Рассмотрим, как можно преобразовать операторные схемы при последовательном и параллельном соединениях нескольких участков.
Пусть цепь состоит из одного контура:
.
Величина
является операторным сопротивлением
всей цепи. При последовательном соединении
участков их операторные сопротивления
складываются.
Рассмотрим
параллельное соединение двух ветвей,
в каждой из которых имеются элементы
:
где
.
Суммарный ток в неразветвленной части цепи
.
Очевидно,
что при ненулевых начальных условиях
нельзя представить
как произведение
на некоторый
множитель
,
имеющий смысл операторной проводимости.
Это можно записать только при нулевых
начальных условиях:
.
Величина
,
называется операторной проводимостью.
3.3. Переход от изображения к оригиналу. Теорема разложения
Функции токов и напряжений, преобразованные по Лапласу могут быть представлены, как отношение полиномов
(12)
где
,
полиномы от
,
причем
и коэффициенты
и
действительные. Изложим содержание
второй теоремы
разложения,
позволяющей находить оригинал по
изображению (12).
Если
известны корни многочлена
то зависимость (12) можно переписать в
виде
где
— кратность корня
,
– количество различных корней.
1. Пусть
где
– различные вещественные и комплексные
корни.
Тогда оригинал находят по формуле
2. Если изображение имеет вид
т.е. один характеристический корень равен нулю, то
или
Нулевой корень появляется когда в цепи имеются источники постоянной ЭДС. Выделенный постоянный член представляет собой установившийся ток или напряжение в цепи.
3. Случай кратных корней.
Пусть
где
Тогда оригинал находят по формуле
.
Коэффициенты
определяются зависимостью
