1.2 Понятие функции

Когда наблюдаем какой-нибудь процесс или явление из области экономики или другой области знаний, то видим, что одни величины сохраняют свои значения, другие же принимают различные значения.

Переменной величиной называется такая величина, которая при выполнении некоторого комплекса условий, может прини­мать различные значения. Постоянной величиной называется такая величина, которая при выполнении некоторого комплекса условий, сохраняет одно и то же значение.

Отметим, что выполнение комплекса условий является очень важным. Так, одна и та же величина может быть переменной или постоянной в зависимости от того, в каких условиях она рассматривается. Например, цена на хлеб (и некоторые другие продукты) в условиях рыночной экономики является величиной переменной. В условиях жесткого планирования цена на хлеб может держаться на одном уровне и быть постоянной величиной.

Переменные величины обычно обозначаются последними бук­вами латинского алфавита (х, у, z, и, v, w), а постоянные — первыми (а, Ь, с).

Изучая какое-нибудь явление, обычно имеем дело с сово­купностью переменных величин, которые связаны между собой так, что каждым значениям одних величин соответствуют значе­ния других. Так, например, ясно, что:

1) каждому значению цены товара соответствует определен­ная величина спроса;

2) каждому значению объема производства соответствует определенная величина издержек;

3) каждому году соответствует сумма накопившегося денеж­ного вклада в Сбербанке.

Во всех этих примерах общим является то, что каждому чи­словому значению одной величины сопоставляется определенное числовое значение другой.

Дадим определение понятия функции, являющегося центральным понятием математического анализа, причем внача­ле ограничимся случаем двух переменных величин. Пусть даны два множества X и Y.

Определение. Правило , сопоставляющее каждому числу единственное число , называется функцией, заданной на множестве X и принимающей значения в множестве Y. Задать функцию – значит задать три объекта: 1) множе­ство X, 2) множество , 3) правило . О функции говорят, что она действует из X в и пишут: .

Иногда функцией называют также уравнение у = f(x), т.е. формулу, где у выражено через х с помощью правила . В урав­нении у = f{x) переменную х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной. О величинах х и у говорят, что они связаны функциональной зависимостью.

Множество всех значений независимой переменной, для ко­торых определена функция (т. е. при которых функция вообще имеет смысл), называется областью определения или об­ластью существования этой функции, обозначается D(f). Множество всех значений функции называется областью зна­чений функции и обозначается E(f).

В экономических задачах часто приходится рас­сматривать зависимости одной переменной от многих других. Например, национальный доход Y зависит от затрат труда L и объема производственных фондов; издержки производства зави­сят от материальных затрат и расходов на оплату рабочей силы. В этом случае говорят о функции нескольких переменных.

Бывают случаи, когда одной переменной соответствует несколько других. Например, некоторому значению цены на товар соответствуют определенные значения спроса и предложения, т.е. одной переменной соответствуют две другие. Тогда говорят о двузначной или многозначной функции (в отличие от однозначной).

Наличие функциональных зависимостей социально-экономи­ческих явлений позволяет использовать для решения экономиче­ских проблем методы математического анализа.