Глава 2. Элементарные функции

2.1 Основные элементарные функции

Прежде чем ввести необходимые определения отметим, что функции, называемые элементарными, были первыми функци­ями, которые подверглись математиками наиболее детальному изучению и начали широко использоваться в приложениях мате­матики. Их особая роль в математическом анализе объясняется тем, что они обладают рядом важных свойств. Приведем два наиболее важных из них: 1) всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения; 2) производ­ная от элементарной функции есть также элементарная функция.

К основным элементарным функциям относят пять классов функций:

1) степенные;

2) показательные;

3) логарифмические;

4) тригонометрические;

5) обратные тригонометрические.

2.2 Преобразования графиков функций

Если известен график функции y=f(x), то с помощью некоторых преобразований плоскости (параллельного переноса, осе­вой и центральной симметрии и т. п.) можно построить графики более сложных функций.

1. График функции получается сжатием графика f (x) в b раз к оси Оу при b > 1 или растяжением в 1/b раз от этой оси Оу при 0< b <1 (рис. 1).

2. График функции f (х+с) получается параллельным пере­носом графика f {x) в отрицательном направлении оси Ох на |с| при с>0 и в положительном направлении на |с| при с<0 (рис. 2).

3. График функции af (x) получается растяжением графика f (x) вдоль оси Оу в а раз при а > 1 и сжатием вдоль этой оси в 1/ а раз при 0<а<1 (рис. 3).

4. График функции f(x)+k получается параллельным пере­носом графика / (х) в положительном направлении оси Оу на k при k >0 и в отрицательном направлении этой оси на при k <0 (рис. 4).

рис. 4 рис. 5

5. График функции y=f (–х) получается симметричным отоб­ражением графика f (х) относительно оси Оу (рис. 5).

6. График функции у= –f (х) получается симметричным отоб­ражением графика f (х) относительно оси Ох (рис. 6).

7. График функции получается из графика функ­ции y=f(x) следующим образом: часть графика y=f(x), лежа­щая над осью Ох, сохраняется, часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох (рис. 7).

рис. 7 рис. 8

8. График функции получается из графика функции y=–f(x) следующим образом: при график y=f(x) сохраня­ется, а при х<0 полученная часть графика отображается сим­метрично относительно оси Оу (рис. 8).

9. «Сложение» графиков функций. Пусть известны графики функций и . Чтобы построить график функции + , достаточно для каждого х сложить ординаты графиков этих функций (рис. 9).

10. «Умножение» графиков функций. Пусть известны графики функций и . Чтобы построить график функции ∙ , достаточно для каждого х перемножить ординаты графиков этих функций. График функции строят, деля на ординаты графика функции .При этом в точках, где обращается в нуль, функция не определена. Обычно около этих точек график функции неограниченно удаляется от оси абсцисс (рис. 10).