Глава 3 Предел последовательности

3.1 Понятие сходимости

Последовательностью называется числовая функция , заданная на множестве натуральных чисел . В дальнейшем вместо будем писать . Если – натуральное число, а – значение последовательности в точке , то говорят, что называется номером числа , а само число называют общим или -ым членом последовательности. Последовательность с общим членом обозначают кратко .

Последовательности бывают конечные и бесконечные.: бесконечная последовательность – последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, ...; конечная последовательность – последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6.

У некоторых бесконечных последовательностей члены с большими номерами оказываются близкими к какому–то постоянному числу, причем это приближение тем точнее, чем больше номер члена.

Определение: число а называется пределом числовой последовательности , если для любого (сколь угодно малого) положительного числа найдется номер N такой, что для всех членов последовательности с номерами п > N выполняется неравенство . Если это выполняется , то пишут .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Смысл определения предела числовой последовательности состоит в том, что доля достаточно больших члены последовательности как угодно мало отличаются от числа (по абсолютной величине меньше, чем на число , каким бы малым оно ни было).

3.2 Существование предела монотонной ограниченной последовательности

При вычислении пределов используются понятия монотонной и постоянной последовательностей. Последовательность называется постоянной, если для любого , где – некоторое действительное число.

Последовательность называется ограниченной, если найдется число такое, что для всех . Последовательность называется возрастающей (убывающей), если ( ). Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.

Последовательность называется строго возрастающей (строго убывающей), если ( ). Строго возрастающие и строго убывающие последовательности называются строго монотонными последовательностями.

Последовательности, обладающие как свойством ограниченности, так и свойством монотонности, имеют предел. Для вычисления пределов используются следующие теоремы.

Теорема 1. Если последовательность ограничена и монотонна, то она сходится.

Теорема 2. Пусть дана постоянная числовая последовательность , где для любого . Тогда она сходится и – предел постоянной равен постоянной.