Решение:

Рисунок 1.1

1) Закон преломления для лучей (закон Снелиуса), образующих границу воздух-сердцевина световада на входящем торце имеет вид:

Откуда

На границе сердцевина-оболочка при полном внутреннем отражении формула Снелиуса примет вид:

Откуда, с учетом, что , получим

Используя основное тригонометрическое тождество , имеем:

Тогда

Числовая апертура

Апертурный угол отсюда

2) Закон преломления лучей, образующих границу пятна, запишется как

Так как из закона отражения света

Откуда

Из треугольника АВС на рисунке, получим

Откуда

Ответ:

2. Явление интерференции.

Изучите конспект, учебную литературу [1, с.305-346; 2, с.234-312, с.483-487; 3, с.60-89; 4, с.57-137] и ответьте письменно на следующие вопросы:

1. Нарисуйте интерференционную картину при интерференции двух одинаковых волн (Зависимость интенсивности от разности фаз). Кратко поясните рисунок.

Интерференция – это взаимное увеличение или уменьшение результирующей амплитуды двух или нескольких когерентных волн, при наложении друг на друга.

Рисунок 2.1 – Интерференция двух одинаковых волн

Если складывать две одинаковые волны, то в некоторых точках пространства колебания друг друга, в то время как в других точках, напротив, колебания взаимно гасятся.

2. Приведите схему интерферометра Майкельсона. Кратко поясните принцип работы.

Схема интерферометра Майкельсона показана на рис. 2.2.

Рисунок 2.2 – Схема интерферометра Майкельсона

Интерферометр работает следующим образом. Пучок света от монохроматического источника направляется на светоделительную пластину, где делится на два пучка – прошедший и отраженный – примерно одинаковой интенсивности. Пройдя некоторые расстояния, эти пучки попадают на зеркала, отражаются ими в обратных направлениях и вновь падают на делительную пластину. Пластина снова частично отражает и частично пропускает свет, в результате чего образуется пучок света, представляющий собой смесь пучков, прошедших через разные плечи интерферометра. Этот пучок света наблюдается на экране. Двигая одно из зеркал интерферометра в направлении падающего на него светового пучка, можно изменять оптическую разность хода лучей и наблюдать изменение интерференционной картины.

3. Приведите схему интерферометра Фабри-Перо. Кратко поясните принцип работы.

Схема интерферометра Фабри-Перо показана на рис. 2.3.

Рисунок 2.3 – Схема интерферометра Фабри-Перо (1 – входной пучок света, 2 – выходной пучок света, 3 – зеркальные пластины, 4 – винт для юстировки зеркал, 5 – система напуска газа).

В данной схеме первая часть излучения проходит оба зеркала и поступает на выход системы. Вторая часть излучения переотражается от зеркал и затем также поступает на выход. Переотраженная от зеркал вторая часть излучения проходит расстояние l между зеркалами три раза. Далее можно выделить части излучения, прошедшие между зеркалами 5, 7, 9 раз и так далее. В результате на выходе системы получается суперпозиция лучей с убывающей амплитудой и нарастающей фазовой задержкой. Выходная интенсивность формируется за счет многолучевой интерференции и определяется разностью фаз при двойном проходе расстояния l. Также может использоваться и альтернативный вариант работы интерферометра на «отражение». При этом если разность фаз лучей в интерферометре создает максимальную интенсивность в «основном» выходе, то в «инверсном» наблюдается минимум и наоборот. Если внутренними потерями оптической мощности в интерферометра можно пренебречь, то рассмотрение обоих выходов схемы интерференции показывает, что при колебаниях выходной интенсивности интерферометра излучение никуда не «пропадает», оно направляется в альтернативный выход.

4. Приведите схему интерферометра Маха-Цандера. Кратко поясните принцип работы.

Схема интерферометра Маха-Цандера показана на рис. 2.4.

Рисунок 2.4 – Схема интерферометра Маха-Цандера

Принцип действия интерферометра заключается в следующем: пучок электромагнитного излучения (света, радиоволн и т. п.) с помощью того или иного устройства пространственно разделяется на два или большее количество когерентных пучков. Каждый из пучков проходит различные оптические пути и направляется на экран, создавая интерференционную картину, по которой можно установить разность фаз интерферирующих пучков в данной точке картины.

5. Приведите схему интерферометра Саньяка. Кратко поясните принцип работы.

Схема интерферометра Саньяка показана на рис. 2.5.

Рисунок 2.5 – Схема интерферометра Саньяка

В типичной схеме интерферометра Саньяка свет разделяется полупрозрачной пластинкой-делителем на два луча, распространяющихся по кругу и сводимых зеркалами обратно на делитель. Благодаря симметрии схемы, вне зависимости от положения зеркал между лучами сохраняется постоянная разница хода. Создать ненулевой сдвиг фазы между лучами можно вращением интерферометра. На этом принципе построены схемы волоконно-оптических гироскопов.

6. Нарисуйте интерференционную картину при интерференции M волн с одинаковыми амплитудами и одинаковыми разностями фаз. Кратко поясните рисунок.

Рисунок 2.6 – Интерференция M волн с одинаковыми амплитудами и одинаковыми разностями фаз, интерференционная картина

На рисунке 2.6, показан пример интерференционной картины при количестве интерферирующих волн М = 5. Очевидно, что при увеличении количества волн резко увеличивается чувствительность интенсивности от изменения фазы. С увеличением количества волн М увеличивается суммарная интенсивность в М раз по сравнению со средним значением, но резко уменьшается при изменении фазы около значения 2πq (q = 0, 1, 2). В частности, когда φ = интенсивность равняется нулю. Этот результат сопоставим с примером интерференции двух волн, где интенсивность ставится равной нулю при М = 2, т.е. при φ = q = π (см. рис 2.1).

7. Нарисуйте интерференционную картину при интерференции неограниченного количества волн с геометрически убывающими амплитудами и с одинаковыми разностями фаз. Кратко поясните рисунок.

Ϝ называют резкостью интерференции (Ϝ – finesse).

На рисунке 2.7, показана зависимость суммарной интенсивности от разности фаз. Как видно из рисунка, интенсивность – периодическая функция от разности фаз φ с периодом 2π. Функция достигает своего максимума I_max при значениях φ:

φ = 2πq (q – целое ) I = I_max

Это соответствует случаю, когда комплексные амплитуды (фазоры) при суммировании выстраиваются в ряд (в одну линию).

Когда интерференционная картина имеет резкие перепады, Ϝ имеет большие значения.

Интенсивность уменьшается в 2 раза от максимального значения, если φ_1/2 = . Обозначение в индексе означает, что φ_1/2 – значение фазы, когда интенсивность достигает половинного значения о-т максимального

Рисунок 2.7 – Интерференция при неограниченном количестве волн с геометрически убывающими амплитуда и одинаковыми разностями фаз, интерференционная картина

Ϝ приобретает физический смысл. Резкость интерференционной картины – это отношение расстояния между соседними максимумами к ширине отдельно взятого максимума на половинном уровне интенсивности.

Задача 2

На экране наблюдается интерференционная картина, возникающая в результате сложения когерентных оптических колебаний одного направления, имеющих следующий вид:

Где k – номер колебания (k=1,2,3,…,М),

𝞅 – разность фаз между соседними колебаниями (k-1) и k.

Требуется:

1. Нарисовать интерференционную картину

2. Определить, с помощью расчета, попадает ли амплитуда результирующего оптического колебания в максимум/минимум интерференционной картины при заданных значениях М и 𝞅.

Значения М и 𝞅 приведены в табл. 2.1 и табл. 2.2, соответственно.

Таблица 2.1

X	2
M	6

Таблица 2.2

Y	4
𝞅 (рад)	2𝜋/3