1.3 Признаки и критерии устойчивости движения
Признак выражает необходимое, но не достаточное условие устойчивости. Критерий выражает необходимое и достаточное условие устойчивости.
Для оценки устойчивости системы рассматривают характеристическое уравнение:
,
которое можно представить в виде
.
Из последнего выражения следует:
В случае отрицательных корней все коэффициенты в характеристическом уравнении будут положительны. Если будет хотя бы один положительный корень, то произойдёт не менее одной смены знака в исходном характеристическом уравнении. Сказанное позволяет сформировать признак устойчивости:
Для устойчивости движения необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения имели одинаковый знак.
1.4 Алгебраический критерий устойчивости (критерий Рауса-Гурвица)
Австрийские математики Раус и Гурвиц в 1895 году нашли условия, при которых многочлен любой степени не содержит корней с положительной вещественной частью.
Рассмотрим характеристическое уравнение САУ n-го порядка:
Алгебраический критерий устойчивости (критерий Рауса-Гурвица) формулируется следующим образом:
Для
устойчивости
САУ необходимо и достаточно, чтобы при
>0
все диагональные миноры квадратной
матрицы Гурвица, составленной из
коэффициентов характеристического
уравнения, были положительны.
Определитель Гурвица составляется из коэффициентов характеристического уравнения следующим образом:
- по диагонали определителя выписываются все коэффициенты от а1, до аn в порядке возрастания (слева - направо, сверху - вниз);
- заполнение столбцов от диагонального коэффициента производится: вверх - коэффициентами уравнения с большими индексами, а вниз - коэффициентами уравнения с меньшими индексами.
Из этого критерия вытекает, что для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля;
1.5 Критерий устойчивости Михайлова а.В. (1938 г.)
Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости САУ по виду их частотных характеристик. Эти критерии являются графоаналитическими и получили широкое распространение, так как позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высокого порядка и имеют простую геометрическую интерпретацию и наглядность.
В основе частотных критериев устойчивости лежит следствие из известного в теории функций комплексного переменного принципа аргумента.
Когда задан полином n-степени, являющийся собственным оператором системы
тогда в соответствии с теоремой Безу (Виетта), его можно представить в виде:
где
-корни
характеристического уравнения
.
На
комплексной плоскости каждый корень
геометрически может быть изображён
вектором, проведённым из начала координат
к точке
.
Величины
,
заключённые в скобки, выражения (1.7), так
же являются векторами, проведёнными из
точки
к точке
.
В чистотной области точки
представляют собой комплексное число
,
т.е
,
где
- частота колебаний. На рис. 6.4 и 6.5
представлены графические изображения
векторов
и
для случая вещественных корней
и
попарно сопряженных корней
Рис.
1.4. Изменения векторов (
)
характеристического уравнения для
случая вещественных корней
;
.
На
рис. 1.4. показано изменение векторов
(
)
характеристического уравнения (1.7) для
случая вещественных корней. Графики
показывают, что если корень
,
то при изменении
от 0 до
,
вектор
,
повернётся по часовой стрелке на угол
.
А если корень
отрицательный, то вектор
повернётся на угол
против движения часовой стрелки.
Аналогичные
рассуждения для случая комплексных
сопряжённых корней
и
и
(рис. 1.5) показывают, что при
и
пары
векторов (
)
и (
повернутся на угол
.
против часовой стрелки.
Рис.
1.5. Изменения векторов (
)
характеристического уравнения для
случая комплексных сопряжённых корней
;
.
Таким
образом, если характеристическое
уравнение будет иметь l
корней с положительной вещественной
частью, то каковы бы ни были эти корни
(вещественные или комплексные), им будет
соответствовать сумма углов поворотов,
равная
.
Всем же остальным
корням характеристического уравнения,
имеющим отрицательные вещественные
части, будет соответствовать сумма
углов поворотов, равная
.
В результате общий угол поворота вектора
при
изменении
от нуля до бесконечности будет:
.
С учетом этого критерий Михайлова можно сформулировать следующим образом:
Для
того чтобы САУ была устойчивой, необходимо
и достаточно, чтобы годограф Михайлова
начинался на положительной полуоси
действительной оси при изменении частоты
от 0 до
и последовательно проходил столько
квадрантов, каков порядок характеристического
уравнения (рис. 1.6) в направлении против
часовой стрелки.
Рис. 1.6. Годограф Михайлова для устойчивых САУ степени п
В
неустойчивых системах нарушается
последовательность прохождения
годографом Михайлова квадрантов,
вследствие чего угол поворота вектора
оказывается
меньшим чем
(рис. 1.7).
Рис. 1.7. Годограф Михайлова для неустойчивой САУ
Критерий Михайлова применяется для анализа устойчивости как замкнутых, так и разомкнутых систем. При исследовании устойчивости замкнутой САУ рассматривается собственный оператор замкнутой системы:
(1.8)
Собственный оператор замкнутой системы
. (1.9)
При исследовании устойчивости замкнутой системы строится кривая Михайлова по выражению (1.9).