Оценка качества переходного процесса по амплитудно-частотным характеристикам

При оценке качества переходного процесса по амплитудно-частотным характеристикам рассматривается АЧХ системы.

Рис. 1.13. Амплитудно-частотная характеристика САУ

Наличие разрыва на АЧХ указывает на неустойчивость системы или на ее высокую добротность (рис. 1.13,а).

Уменьшение пика характеризует уменьшение числа колебаний в переходном режиме.

При наличии на характеристике нескольких пиков наибольшее влияние на переходный процесс оказывает первый максимум.

Величина носит название показателя колебательности ( - амплитуда при ) (рис. 1.13,б).

В практике считаются работоспособными системы, у которых показатель колебательности

Быстродействие системы характеризуется полосой равномерного пропускания частот. Ширина полосы равномерного пропускания частот определяется той частотой , при которой амплитуда становится равной значению амплитуды при (рис. 1.13,б).

Чем шире полоса, тем быстродействие лучше. Связь времени переходного процесса с частотой равномерного пропускания определяется .

Интегральные оценки качества переходного процесса

С увеличением порядка дифференциальных уравнений САУ более трудно анализировать качество переходного процесса. Для этого случая в ТАУ введены интегральные оценки при использовании которых можно выбирать параметры САУ соответствующие минимальному времени переходного процесса.

Как уже известно, переходный процесс был бы идеальный, если бы в момент возникновения управляющего воздействия регулируемый параметр принимал бы мгновенно новое установившееся значение и не изменялся бы до возникновения нового воздействия. В реальном процессе это невозможно. Отличие реального процесса от идеального тем больше, чем больше площадь, заключенная между кривыми этих процессов (рис. 1.14,а). Степень отличия реального и идеального переходного процессов оценивается интегральными оценками.

Простейшей интегральной оценкой является

где - отклонение регулируемого параметра от нового установившегося значения. Геометрически выражает площадь под кривой переходного процесса, построенного по отклонению. Заштрихованная площадь будет тем меньше, чем меньше величина отклонения и быстрее затухает переходный процесс. Следовательно, чем меньше , тем лучше переходный процесс в САУ. Рассмотрим выбор параметров САУ на основе интегральной оценки .

Пусть передаточная функция замкнутой сау имеет вид

Изображение регулируемого параметра определяется по формуле

Рис. 1.14. Графики переходных процессов.

Так как, то соответствующее выражение для в изображениях по Лапласу запишется в виде,

где - изображение по Лапласу .

Подставляя выражения и в формулу для , получим

Так как рассматривается переходный процесс при единичном ступенчатом входном воздействии, то и изображение отклонения регулируемого параметра запишется в виде

Интеграл можно представить в виде

,

так как. .

Из последнего равенства для следует

Вычислив данный предел, получим

Пусть, исходя из минимума интегральной оценки, требуется два каких-нибудь параметра и САУ. Эти параметры входят в коэффициенты и . Для определения и , удовлетворяющих минимальному времени переходного процесса выражают в функции от и в явном виде, т. е. . Затем вычисляют частные производные по и и приравнивают их нулю. В результате получают два уравнения

с двумя неизвестными и .Функция не всегда имеет экстремум по рассматриваемым параметрам. Тогда нужно выбирать их по наименьшему значению из области изменени и , назначаемой из других соображений. При выбранных таким образом параметрах может оказаться так, что система регулирования вначале удовлетворявшая заданному запасу устойчивости станет неудовлетворительной. Тогда уточняют значения и таким образом, чтобы система не оказалась слишком близкой к границе устойчивости. Также уточнения можно произвести построением диаграмм в плоскости двух параметров, полученных для различных . Оценка качества переходного процесса и выбор параметров САУ по интегральной оценке применимы лишь при заведомо монотонных (без колебаний) процессах. Если имеет место колебательный переходный процесс (рис. 1.14,б), то при вычислении интеграла площади отклонений от идеального переходного процесса будут складываться алгебраически и наименьшему значению может соответствовать длительный колебательный процесс.

В этих случаях применяется квадратичная интегральная оценка

К

Рис. 6.15. К вопросу об интегральных оценках качества.

ак следует из (1.15), величина не зависит от знака отклонения , а значит и от формы переходного процесса (монотонного или колебательного). Однако, как показали расчеты, если выбирать параметры САУ из условия минимума , то переходный процесс получается чрезмерно колебательным. Это связано с тем, что оценка учитывает только величину отклонения и время затухания и никак не учитывает скорость изменения . Если, например, подать на вход системы единичный скачок, то ошибка в переходном процессе определится заштрихованной частью на рис. 1.15,а.