1. Образовательные цели изучения производной функции
При изучении темы "Производная" проявляются известные трудности, связанные с осуществлением предельных переходов. Важно поэтому придать изложению возможно более наглядный и конкретный характер.
Включённые в курс сведения о пределах имеют вспомогательный характер, они не обходимы для вывода формул производных. Основное внимание должно быть уделено не формальному применению теорем о пределах, а сознательному проведению предельных переходов для приближённого вычисления значений конкретных функций и их приращений. Многочлены невысоких степеней и их частных -наиболее простой объект для иллюстрации идеи предельного перехода.
Определению производной функции как предела разностного отношения предшествует рассмотрению особенностей поведения графиков гладких функций, приводящее к понятию касательной. Производная функции появляется сначала как тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс. Тем самым с понятием производной на первом этапе связывается наглядный образ – касательная. Предельные переходы появляются как средство вычисления производной.
При изучении применения производной существенная роль отводится наглядным представлениям о производной. Опора на геометрический и механический смысл делают интуитивно ясными критерии возрастания и убывания функций, признаки максимума минимума.
Решение тестовых задач физического, геометрического и практического содержания с применением производной позволяет учащимся ознакомиться со всеми этапами решения прикладных задач: составление математической модели (перевод задачи на язык функций), решение полученной задачи средствами математического анализа, и наконец, интерпретация полученного решения в терминах исходной задачи.
2. Различные подходы к введению понятия производной функции в курсе средней школы
Различные подходы к введению производной определяются логической связью этого понятия с более общим понятием предела функции в точке.
Логический подход при введении производной в качестве базисного понятия использует определение предела функции в точке. Так в учебных программах по математике 1968 года, используя этот подход, определяли это понятие: 1) исходя из арифметического толкования предела функции (определение по Коши или на языке абсолютной погрешности):
2)
исходя из операции предела функции в
точке через окрестности (топологическое):
a-
предельная точка множества E,
т.е.
В действующих школьных программах по математике при введении производной функции используют исторический подход, т.е. первоначально формируются понятия производной, и только затем, как обобщение, понятие предела функции. При таком подходе большое внимание уделяется практическим аспектам изучения производной.
3. Методическая схема изучения производной
Привести подводящую задачу, раскрывающую физический смысл понятия производной: свободное падение тела, которое не является равномерным. Охарактеризуем скорость падения в каждый данный момент времени t , т.е. введём понятие мгновенной скорости свободного падения тела. Известно, что средняя скорость определяется отношением
,
причём чем меньше значение
,
тем менее "заметно" изменение
средней скорости падения. При
,
отношение
стремится к значению мгновенной
скорости. Таким образом мгновенная
скорость характеризует скорость
изменения пути
в
момент времени t.
В общем случае, с любым реальным процессом может быть связана задача:
Пусть
-параметр
данного процесса, зависимости от x
; найти скорость изменения параметра
в момент, когда
.
Решение задачи сводится к нахождению
отношения приращения параметра
,
соответствующую приращению
.
Сформулировать определение понятия производной.
Так как в определении отсутствует понятие предела, то первоначально следует сформировать у учащихся понятие приращения как изменения и аргумента и функции.
Например:
После рассмотрения геометрического смысла производной вводим определение:
Производной
функции в точке
называется число, к которому стремится
разностное отношение:
Полезен
небольшой анализ формулировки определения,
позволяющий чётче выделить признаки
данного понятия: 1) число, 2) к которому
стремится разностное отношение
при
Закреплению
определения производной способствует
вопрос: "Как найти производную функции
в точке
?",
ответ на который может быть дан в форме
алгоритма: 1) значению
придаём
приращение
;
2) находим приращение функции
в точке
;
3) составляем разностное соотношение;
4) находим число
(если
такое число существует), к которому
стремится
при
III. Конкретизировать понятие производной (путём вычисления производной по определению: выяснение её геометрического смысла, графическое отыскание производной)
Первый пример на выяснение производной полезно выполнить на двух уровнях: а) задано конкретным числом; б) берётся в общем виде.
Например:
Дана функция
.
Найти её производную в точке: а) x=2;
б)
а) Придадим приращение в точке х=2, новое (приращённое) значение аргумента –(2+ ). Найдём приращение функции:
Вычислим разность отношения
Оно стремится к 2 при
б) , приращённое значение аргумента : +
.
Составим
разностные отношение:
,
которые при
стремится к числу
.
Для конкретизации понятия производной может быть использован графический метод, суть которого в следующем:
1) На примере функции покажите, что разностное отношение есть функция с аргументом . Охарактеризуйте эту функцию. Обратимся к рассмотренному примеру:
,
,
Наша функция возрастающая, т.е. если
2) Постройте график функции и с его помощью покажите число, к которому стремится отношение при . Пусть
3) Мотивировать необходимость теорем о вычислении производной, сформулировать и доказать эти теоремы.
4) Рассмотреть приложение производной.