24. Методика изучения геометрических фигур в курсе геометрии профильной школы. Понятие многогранника в математике и профильном ее курсе.

25. Методика изучения тетраэдра и параллелепипеда. Роль и место темы в профильном курсе стереометрии. Этапы изучения, средства обучения и контроля.

Тема изучается в 2 ступени в 10 классе:

1-я: «Тетраэдр и параллелепипед»в главе "Параллельность прямых и плоскостей в пр-ве." Обеспечить наглядную иллюстрацию понятий, теорем- свойств и теорем-признаков, связанных со взаимным расположением прямых и плоскостей.

2-я ступень: Тема "Многогранники" с определением понятия многогранник.

До изучения темы «Многогранники» учащиеся знакомятся с их простейшими видами «Тетраэдр и параллелепипед»в главе "Параллельность прямых и плоскостей в пр-ве.". Понятия тетраэдра и параллелепипеда вводятся здесь для того, чтобы рассмотрение их свойств, построение сечений способствовали углублению понимания вопросов взаимного расположения прямых и плоскостей, поэтому необходимо, чтобы решение задач сопровождалось ссылками на аксиомы, определения и теоремы.

При объяснении понятий тетраэдра и параллелепипеда необходимо подчеркнуть, что многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность, а тетраэдр и параллелепипед - поверхности, составленные из плоских поверхностей (многоугольников).

Для формирования у учащихся представления о способах изображения на чертеже тетраэдра и параллелепипеда полезно показать различные проекции их моделей. Полезно также обсудить простейшие свойства параллельной проекции.

В результате изучения параграфа учащиеся должны уметь объяснить, что называется тетраэдром, параллелепипедом, указывать и называть на моделях и чертежах элементы этих многогранников; знать свойства граней и диагоналей параллелепипеда; уметь изображать тетраэдр и параллелепипед, строить их сечения.

Средства обучения: применяют наглядные средства обучения. Например, если изучается понятие тетраэдр, то такой моделью может быть: 1) словесное описание (определение) этого понятия; 2) объемная модель пи­рамиды (каркасная или сплошная); 3) ее развертка; 4) изображе­ние пирамиды или ее развертки на доске, на бумаге, на экране и т. п.  Основными наглядными средствами при изучении многогранников являются объемные модели. Такие модели, сделанные из разных материалов, соответствуют различным дидактическим целям.

Также при изучении многогранников  можно использовать различные рабочие и справочные таблицы. Рабочие таблицы - это такие таблицы, по материалу которых можно организовать активную мыслительную деятельность учащихся как по усвоению нового теоретического материала, так и по его закреплению.

Средства контроля: самостоятельные работы, тестирования, проектная деятельность.

26. Методика изучения пирамиды, призмы их видов. Роль и место темы в профильном курсе стереометрии. Этапы изучения, средства обучения и контроля.

Исходя учебника: Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровень) 10 - Издательство "Просвещение"

Опорные знания

• понятие многоугольника и его виды.

• понятие параллелепипеда, понятие прямоугольного параллелепипеда, его основные свойства

Введение понятия «пирамида»

Прежде всего, сообщается учащимся, что пирамида — это новый вид многогранников, к изучению которого они приступают.

Перед изучением темы ее содержание можно разделить на логически законченные части:

1). Определение пирамиды. Элементы пирамиды. Виды пирамиды.

2). Правильная пирамида, апофема правильной пирамиды.

3). Свойство сечений пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

4). Площадь поверхности пирамиды.

5). Усеченная пирамида.

По каждой из указанных частей подбираются задачи, способствующие формированию и развитию умений и навыков, предусмотренных программой по математике для средней школы. Изучение пирамиды можно начать с рассмотрения способа ее построения, а потом дать определение этого многогранника.

Правильная пирамида:

а) основание — правильный многоугольник;

б) основание высоты совпадает с центром основания.

Учащиеся должны усвоить алгоритм изображения правильной пирамиды:

а) строят изображение основания пирамиды;

б) строят изображение центра основания;

в) строят изображение высоты правильной пирамиды;

г) строят изображение боковых ребер правильной пирамиды.

Как показывает практика школьного преподавания, большие трудности у учащихся вызывают задачи на построение линейных углов, двугранных углов пирамиды и вычисление величин этих углов. Учитель может сам составить серию таких задач, особо вы­делив в ней задачи с правильными пирамидами.

В процессе решения задач особо рассматриваются виды пирамид, у которых:

а) основание высоты совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды;

б) основание высоты совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды;

в) боковая грань перпендикулярна основанию;

г) боковое ребро перпендикулярно основанию.

Этот раздел богат задачами вычислительного характера, и цель учителя в процессе его изучения — выработать у учащихся умения и навыки вычисления площади боковой и полной поверхности различных пирамид.

Задачи на вычисление по разделу о пирамиде можно разде­лить на группы:

а) задачи на построение и вычисление линейных углов для двугранных углов пирамиды;

б) задачи на вычисление линейных элементов пирамиды — ребер пирамиды, высоты пирамиды, апофемы правильной пирамиды;

в) задачи на построение и вычисление угла между боковыми ребрами и основанием пирамиды;

г) задачи на вычисление площади поверхности пирамиды (боковой и полной).

Понятие об усеченной пирамиде целесообразно ввести параллельно с изучением свойств сечений пирамиды плоскостью, параллельной основанию. При рассмотрении соответствующей теоремы удобно проиллюстрировать способ получения усеченной пирамиды из любой пирамиды и отличие усеченной пирамиды от призмы.

Призма

1. Имеет два основания — параллельные друг другу грани.

2. Основания призмы — равные многоугольники.

3. Боковые грани призмы — параллелограммы.

4. Призма (кроме треугольной) имеет (n— 3) диагоналей

Усеченная пирамида

1. Имеет два основания — параллельные друг другу грани

2. Основания усеченной пирамиды — подобные многоуголь­ники.

3. Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции.

4. Усеченная пирамида (кро­ме треугольной) имеет (n — 3) диагоналей.

Для правильной усеченной пирамиды вводится понятие «апофе­ма». В этом разделе также решается много задач на вычисление площади боковой и полной поверхности усеченной пирамиды, особо выделяются задачи на вычисление площади боковой и полной поверхности правильной усеченной пирамиды. Задачи на усеченную пирамиду можно разбить на такие же группы, как и задачи по теме «Призма».

Рассмотрим изучение темы «Многогранники» в школьных учебниках. Для примера возьмем учебники разного уровня изложения материала: предназначенные для общеобразовательной школы, для гуманитарных классов, для классов с математическим уклоном.        Учебник Атанасяна Л.С.

Номер   урока	Содержание учебного материала
1-4	§1. Понятие многогранника. Призма. Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы. ( п.25-27)
5-9	§2. Пирамида. Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Площадь поверхности пирамиды. (п.28-30)
10	§3. Правильные многогранники. Симметрия в пространстве. Понятие правильного многогранника. Элементы симметрии правильных многогранников. (п. 31-33)
11	Контрольная работа.
12	Зачет по теме.

Учебник Смирновой И.М. Данный учебник предназначен для преподавания геометрии  10-11 классах гуманитарного профиля. По сравнению с традиционным изложением в учебнике несколько сокращен теоретический материал, больше внимания уделяется вопросам исторического, мировоззренческого и прикладного характера.

Пункт учебника	Содержание	Кол-во часов
18	Выпуклые многогранники	2
19	Теорема Эйлера	2
20*	Приложения теоремы Эйлера	2
21	Правильные многогранники	2
22*	Топологически правильные многогранники	1
23	Полуправильные многогранники	2
23	Звездчатые многогранники	1

Учебник Александрова А.Д.  Данный учебник предназначен для классов и школ с математической специализацией, он дает богатую математическую информацию, развивает ученика, но является достаточно трудно усваиваемым. В учебнике рассматриваются такие темы, которые в основной школе  не доступны даже для  «сильных» учеников, например, сферическая геометрия.

№ урока	Содержание учебного материала
1-2	Обобщение понятие многоугольника. Многогранник.
3-5	Призма, параллелепипед. Упражнения.
6-10	Пирамида. Виды пирамид. Упражнения.
11-13	Выпуклые многогранники.
14-16	Теорема Эйлера. Развертка выпуклого многогранника.
17-19	Правильные многогранники.

1. средства обучения и контроля.

Наглядные пособия обычно классифицируются на три группы:

. Объемные пособия (модели, коллекции, приборы, аппараты и т.п.)

. Печатные пособия (картины, плакаты, графики, таблицы, учебники и т.п.)

. Проэкционный материал (кинофильмы, видеофильмы, слайды и т.п.)

Материальные средства, необходимые для усвоения всей учебной дисциплины, составляют систему, производную от системы учебного предмета.

Средства осуществления контроля 

Проверка домашнего задания

Роль домашних заданий практически обесценивается, если не налажена их проверка. Учителя практикуют разные формы учета. Это и устный опрос у доски или с места по домашнему заданию, и короткая письменная работа

Самопроверка по образцу применяется на первом уроке после объяснения нового материала. Образец решения домашней работы записан на доске заранее. Учащиеся рассматривают решение образец и устно комментируют его, тетради у всех закрыты. 

Организация самостоятельных работ

Важно, чтобы учащиеся не только знали теоретический материал, но и умели применять его к решению задач и упражнений, обладали бы рядом навыков. 

Организация контрольных работ

Контрольная работа может быть кратковременной и долговременной.

Перед проведением контрольной работы необходимо определить объект контроля, цель предстоящей работы и средства контроля. Они должны быть сообщены учащимся.

Машинные средства проверки

1. Однотипные задания печатаются в любом количестве неповторяющихся вариантов;

2. Варианты, созданные с помощью компьютерных программ, проверяются значительно быстрее, так как компьютер может предоставить ответы к каждому заданию;

3. Компьютерные типовые задания удобны для отработки необходимых навыков с отстающими учащимися (учитель не тратит время на подбор однотипных заданий для отработки определенных навыков);

4. Учащиеся с огромным интересом работают с такими заданиями, особенно, если карточка с заданием индивидуальна и ученик может работать в ней.