Теоретико-вероятностные методы оперирования с неопределенностью

1. Схема Байеса

pi = (ci → Ri, ki)

Ei – свидетельство Hi – гипотеза P(H|E) = P(E|H) =

Условная вероятность

Формула Байеса

P(H|E) = def

P(E) = P(E|H)P(H) + P(E|⌐H)P(⌐H)

Модифицированная схема Байеса:

Апостериорный шанс отношение правдоподобия априорный шанс

R(H|E) O(H)

Шанс справедливости гипотезы Н:

Отношение правдоподобия:

P(H)=

O(H|E)=R(H|E) O(H) – модифицированная схема Байеса

P(H|E)=

Если R(H|E) = 1, свидетельство нейтральное (P(E|H) = P(E| )

Если R(H|E) < 1, в качестве свидетельства используется контрсвидетельство, т.е. Е противоречит гипотезе.

Если R(H|E)>1, Е – свидетельство.

P(H|E)

R(H|E)

∆₁ – отбросить Н

∆₃ – принять Н как достоверную

∆₂ – P(H|E) – степень правдоподобия

Ряд свидетельств {E_i}, i=1..n, используется для ряда гипотез {H_j}, j=1..n

P(H|E₁..E_n) – случай зависимости от многих свидетельств

В случае независимости свидетельств E_i справедливо:

O(H|E₁..E_n) = R(H|E₁) … R(H|E_n) O(H)

P(H|E₁..E_n) = , т.е. схема Байеса применима

Определение важности свидетельства E_i:

Пример

Обозначим:

P(H|E)=

P(H|E₁..E_n) =

БЗ: <H_j, P_j, K_j, {(N_Ei, , )}>

БД: < N_Ei, название свидетельства, источник получения>

Например: <Грипп, р, {(1; 0,99; 0,01), (2; 0,9; 0,1)}>

<1, повышенная температура, осмотр>

<2, наличие кашля, осмотр>

2 случая: А) нет эпидемии

Априорная вероятность заболевания р=0,01

1. Наблюдается Е₁ – повышение температуры

2. Кашель Е₂

3. Е₁ и Е₂

Б) есть эпидемия р=0,1

1) Е₁

2. Е₂

3. Е₃

Ограничения для схемы Байеса:

1. Независимость свидетельств (при использовании Байесовских сетей доверия неважно)

2. Сложности в использовании правдоподобных свидетельств

Шкалы

0 1 (100%)

-а +а

-100 0 А +100

0 – не проявляется

1 – очень слабо

2 – слабо

3 – средне

4 – сильно

5 – очень сильно

P(H|A) = P(H|E)P(E|A) + P(H|⌐E)P(⌐E|A)

А – ответ пользователя по опыту свидетельства

P(H|A=0)=P(H)

Не знаю

Используются графики пересчета

P(H|А)

P(H|E)

P(H|А)

P(H)

P(H|⌐E)

А

А

а

-а

3. Базируется на классической теории вероятности

P(H)+P(⌐H) = 1

P(H|E₁..E_n) = 0.6

P(⌐H|E₁..E_n) = 0.4

P(H) P(⌐H)

P(H) зона P(⌐H)

неопределенности

Зона противоречия

Решение: использовать трехзначную логику {0; 0,5; 1},

четырехзначную логику {t, f, τ, 0},

шестизначную логику {-1; -0,5; 0; τ; 0,5; 1}

Байесовские сети доверия (Bayesian belief networks)

1988г – Pearl предложил эти сети

Ситуация снижения скорости движения на дороге:

Р емонт дороги(R) авария (A) - гипотезы

Дорожные рабочие(D) замедление(Z) машина с мигалкой(M)

При классической схеме:

P(Z) = P(Z&R)+P(Z&⌐R)

Надо иметь статистику:

R	Z	P
T	T	0.3
T	F	0.2
F	T	0.1
F	F	0.4

P(R|Z) = 0.3 / (0.3+0.1) 0.75

P(R,A,D,Z,M) =

Таблица 2⁵

При использования Байесовского метода:

P(R,A,D,Z,M) =

5 параметров, таблица 20 строк

30 параметров, не более двух родителей → <250 строк

30 параметров, не более трех родителей → <480 строк

Построение: сводят к циклическим графам или к ациклическим направленным графам.