Метод Стеффенсона.

является методом второго порядка точности p = 2.

Обусловленность задачи вычисления корня уравнения.

– коэффициенты возрастания начальной погрешности.

Точность достигнута, если .

Определение 1.

Из-за вычислительной погрешности существует такой интервал, называемый интервалом неопределённости корня, внутри которого невозможно определить, какое число является корнем. Длина интервала называется радиусом неопределённости корня.

– радиус неопределённости корня.

Вывод:

1. Если – простой корень, т. е. , то задача хорошо обусловлена.

2. Если корень кратный, т. е. , то задача становится плохо обусловленной.

– корень кратности m

Задача. Найти радиус неопределённости для кратного корня.

Алгоритм для нахождения кратного корня:

Лекция № 5.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ).

Вспомогательные сведения.

Основные задачи вычислительной математики:

1. Решение СЛАУ.

2. Нахождение собственных чисел и собственных векторов.

3. Обратная матрица.

4. Вычисление определителя.

Постановка задачи о приближенном решении уравнения.

– точное решение (неизвестно).

Требуется найти вектор – приближенное решение с точностью .

Определение 1.

Будем говорить, что в введена норма вектора, если сопоставляется число , удовлетворяющее аксиомам:

1. 

2. 

3. 

Наиболее употребительные нормы:

Пример.

Определение 2.

Под погрешностями вектора будем понимать:

Справедливо следующее соотношение для норм векторов:

– размерность пространства.

Пусть рассматривается последовательность приближений .

Будем говорить, что эта последовательность сходится к по норме, если .

Всюду далее конкретизация нормы не существенна, т. к. сходимость одной влечёт сходимость по остальным.

Определение 3.

Подчинённой нормой матрицы А называется число, определяемое .

Пример.

Введённая таким образом норма удовлетворяет следующим аксиомам нормы матрицы:

1. 

2. 

3. 

4. 

Имеем систему Найти не сможем, т. к. искажена и A и b. Будем решать .

Р ассмотрим задачу о нахождении приближенного решения , выбрав евклидову норму вектора .

Обусловленность задачи решения слау.

Погрешность входного данного:

Теорема 1.

Пусть – точное решение системы , – решение системы . Тогда справедливы следующие оценки:





Определение 4.

Числом обусловленности матрицы А будем называть число .

Если , то матрица называется плохо обусловленной.

Пример.

Утверждение 1.

Пусть – точное решение системы , – решение системы . Тогда справедлива оценка .

Пусть – точное решение системы , – решение системы . Тогда справедлива оценка .

Пример.

Решение системы методом Гаусса.

Обратный ход метода Гаусса:

Подсчитаем трудоёмкость метода Гаусса в общем случае.

1 шаг метода Гаусса.

Число алгоритмический действий:

Делений Умножений Вычитаний

Лекция № 6.

РЕШЕНИЕ СЛАУ ПРЯМЫМИ МЕТОДАМИ.

Метод Гаусса и его модификации.

Схема единственного деления.

1 шаг. Предполагаем, что – ведущий элемент 1-ого шага.

k шаг. – ведущий элемент k-ого шага.

Выписываем (m-1) шаг метода Гаусса.

арифметических действий.

Обратный ход.

Модификации метода Гаусса.

1. Схема частичного выбора метода Гаусса

(выбор максимального по модулю элемента по столбцу):

1 шаг. – максимальный по модулю элемент 1-ого столбца.

Меняем местами строки .

k шаг. – максимальный по модулю элемент k-ого столбца.

Меняем местами строки .

Преимущества схемы:

1. Нет деления на ноль.

2. – вычислительная устойчивость.

2. Метод полного выбора:

1 шаг. – максимальный по модулю элемент всей матрицы.

Меняем местами строки и столбцы .

k шаг. – максимальный по модулю элемент в подматрице порядка (m-k).

Меняем местами строки и столбцы .

LU-разложение или матричная форма метода Гаусса.

Обычно стоит такая задача:

Выбираем правые части.

Рассмотрим элементарные матрицы:

Свойства элементарной матрицы:

1. 

2. 

3. Обратная матрица является той же матрицей, но с коэффициентами .

Найдём .

Пояснение.

Матричная схема метода Гаусса:

Пример.