Sor метод (верхней релаксации).
Каноническая форма записи итерационных методов.
Определение 1.
Канонической формой итерационного метода общего вида называется:
Если
,
то метод называется неявным,
иначе – явным.
Если
зависят от номера итерации, то метод
называется итерационным,
иначе – стационарным.
B – итерационная матрица.
– итерационный
параметр.
Вектор погрешности
Вектор ошибки
удовлетворяет уравнению
Определение 2.
называется матрицей
перехода от
вектора погрешности от
к
для МПИ
.
Теорема 2.
Если все собственные
числа
матрицы S
,
то метод итерационно сходится при любом
начальном приближении.
Необходимость
Достаточность
Предположим дополнительно, что S имеет собственные векторы, образующие собственный базис.
Лекция № 9.
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЁННЫХ МАТРИЦ.
Итерационные методы в канонической форме.
Критерий Сильвестра:
Запишем наиболее распространённые методы в канонической форме:
Метод Якоби.
Метод релаксации.
– параметр, берётся
всегда положительным.
Метод Зейделя
.
Условия сходимости итерационных методов
для симметричных, положительно определённых матриц.
Теорема 1.
Пусть
и
.
Тогда итерационный метод сходится при
любом начальном приближении.
Докажем, что
.
Рассмотрим
числовую последовательность
.
Докажем, что
убывает.
Следствие 1.
Пусть матрица A
обладает свойством диагонального
преобладания, т. е.
.
Тогда метод Якоби сходится при любом
начальном приближении.
.
Следствие 2.
Если
,
то метод релаксации
и, в частности метод Зейделя
,
сходится при любом начальном приближении.
Утверждение 1.
Пусть
и
– спектр матрицы. Тогда метод простой
итерации
сходится при
и любом начальном приближении.
Пусть
,
тогда метод сходится при любом начальном
приближении.
Если
– собственные
числа A,
то
.
Если
– собственный
вектор.
минимальная
погрешность метода;метод сходится.
Замечание.
В МПИ необходимым
и достаточным условием выбора параметра
является
.
Лекция № 10.
ИТЕРАЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС
С ЧЕБЫШЕВСКИМ НАБОРОМ ПАРАМЕТРОВ.
Многочлены Чебышёва.
Имели дело больше со стационарными процессами:
Многочлены Чебышёва определяются:
Свойство 1.
– чётная функция.
– нечётная функция.
Свойство 2.
Свойство 3.
Свойство 4.
Нули многочленов
на
:
Свойство 5.
Экстремумы многочлена Чебышева.
Графики монотонны:
Рассмотрим нормировку:
Теорема 1.
Среди всех
многочленов степени n
со старшим коэффициентом
наименее уклоняющимся от нуля является
многочлен
,
т. е.
Предположим, что не удовлетворяет условиям теоремы.
Рассмотрим точки экстремума .
будет совпадать
с максимальным значением
.
Точек экстремума
должно быть n
корней.
Это противоречит основной теореме Гаусса.
Утверждение 1.
Пусть
,
тогда в качестве
.
Равенство достигается, если
.
Утверждение 2.
– максимальное
собственное число.