Метод Холецкого (метод квадратных корней).
Определение 1.
Матрица A
называется
положительно
определённой,
если
.
Критерий Сильвестра
.
Определение 2.
Матрица A
называется
симметричной,
если
.
Достаточное условие
положительной определённости в случае
:
если
строковое диагональное преобладание,
.
Пусть
.
Число арифметических
действий
.
Пример.
Лекция № 7. Решение слау. Метод прогонки.
Определение 1.
Матрица разрежена, если содержит достаточное количество нулевых элементов.
Трёх диагональная система уравнений.
1 шаг.
2 шаг.
3 шаг.
Пример.
Теорема 1.
Достаточное условие применимости метода прогонки.
Пусть коэффициенты системы удовлетворяют следующим условиям:
Тогда
,
т. е. прогонка может быть доведена до
конца и
,
т. е. прогонка устойчива.
По индукции.
Существуют различные способы прогонок:
Правая прогонка (классический способ).
Левая прогонка.
Более сложные формулы.
Применение прямых методов для решения слау.
Метод частичного выбора (однократное вычисление системы).
система с разными правыми частями.
Если нашли
,
то решаем фактически
.
метод Холецкого.A разреженная. Метод прогонки.
Метод простой итерации.
Расчётные формулы:
Пример.
Покоординатная форма записи для МПИ:
Теорема 2.
О достаточном условии сходимости МПИ.
Пусть рассматривается
МПИ
и пусть выполняется условие
.
Тогда МПИ сходится при любом начальном
приближении и справедливы оценки:
– решение системы
.
Следствие.
Критерий окончания МПИ:
,
где
– заданная точность.
Существуют две формы записи МПИ:
Матричная форма.
Покоординатная форма.
Если матрица B
обладает свойством диагонального
преобладания
,
то можно доказать, что
.
Иногда диагональное преобладание можно получить, переставляя строки в исходной системе уравнений.
Лекция № 8.
РЕАЛИЗАЦИЯ МПИ НА MathCAD.
Алгоритм:
Вычисление по МПИ с заданной точностью .
Методы Зейделя и релаксации.
Покоординатная форма записи метода Зейделя.
Матричная форма записи метода Зейделя.
Достаточное условие
сходимости МПИ
.
Достаточное условие
сходимости МЗ
.
Теорема 1.
Пусть рассматривается
метод Зейделя
.
Тогда если
,
то метод Зейделя сходится при любом
начальном приближении и справедливы
следующие оценки:
Следствие 1.
Метод Зейделя сходится со скоростью геометрической прогрессии.
Следствие 2.
Критерий окончания
.
Геометрическая интерпретация метода Зейделя.
Замечание.
Метод Зейделя может зациклиться.