1. Тарау. Қатты денелердің ішкі құрылымы. Кері тор

Бөлшектер бір біріне жағындағанда салыстырмалы үлкен қашықтықтарда бөлшектер арасындағы қашықтық кеміген сайын арта түсетін тартылыс күштері, ал аз қашықтықтарда қашықтық кеміген сайын тартылыс күштерімен салыстырғанда шапшаң артатын тебу күштері пайда бола бастайды. қашықтығында тебу күштері тартылыс күштеріне тең және әсерлесудің қорытқы энергиясы минималды мәнге жетеді (Сурет 1).

Сурет 1. Бөлшектердің әсерлесу күштерінің потенциалы

Сондықтан да, қашықтығына жағындаған бөлшектердің күйі тұрақты тепе теңдік күй болып есептелінеді. Осының салдарынан бөлшектер бір бірінен қашықтығында кристал атты дұрыс ішкі құрылымы бар денені құрып нақты ретпен орналасады. Мұндай құрылым байланыс энергиясы абсолют мәні бойынша бөлшектердің жылулық қозғалыс энергиясынан артық болып тұрғанша сақталады. Кристалл бөлшектері өздерінен тепе-теңдік күйлерінен ығыса алмайды, себебі осы күйлерден алшақтаған жағдайда бөлшектердің энергиясы артады да, оларды тепе-теңдік күйіне оралтатын күштер пайда болады. Бұл жағдайда бөлшектер өздерінің тепе-теңдік күйлері бойынша ретсіз тербелістер жасайды.

Кристалдар дегеніміз бөлшектері (атомдар, молекулалар) геометриялық заңды торды түзеп, периодикалық түрде орналасқан заттар. Әрбір кристалдық зат басқа кристалдық заттардан өзінің атомдық құрылымымен ерекшеленеді. Құрылымының заңдылығы және симметриясы нәтижесінде кристалдар біртекті және анизотропты болады. Егер кристал ішінде алынған кез келген нүкте үшін сол нүктемен өз қасиеттері бойынша мүлдем сәйкес және белгілі шекті қашықтықта орналасқан басқа нүкте табылса, онда кристал біртекті деп аталады. Анизотроптылық дегеніміз – ол кристалл қасиеттерінің кристал ішіндегі бағыттардан тәуелділігі.

Кристалдардың геометриялық пішінінің дұрыстығы және анизотропиясы кристалдық денелер табиғатта әдетте ретсіз бағытталған өлшемдері 10^-4 кішкентай кристалдардан тұратын поликристалдар ретінде кездесу себебінен көрінбейді. Поликристалдарда анизотропия тек бір кристаллит шектерінде бақыланады, ал қатты дене ретсіз бағытталған поликристалдар арқылы анизотропты болмайды. Кристалданудың ерекше жағдайларын туғызғанда үлкен бірлік монокристалдар алуға болады (Сурет 2).

Бөлшектер орналасуындағы нақты тәртіптілік бүкіл монокристалға сақталмайды, кейбір жерде үзіліп кетеді. Монокристалдар өлшемдері 10^-6 -10^-8 құрайтын мозаика блоктарынан тұрады, ал олардың арасындағы бұрыштар – бірнеше секундтардан бастап бірнеше минутқа дейін болып келеді. Тиіп тұратын блоктардағы кристалдық тор әртүрлі бағытта болғандықтан, бір бағыттан келесі бағытқа ауысатын ауыспалы қабат пайда болады. Сондықтан да осы қабаттағы тор идеал кристал торына қарағанда кішкене бұрыс болып келеді.

Поликристалл Монокристал Мозаика блоктары

Сурет 2. Кристалл түрлері

Ұқсас нүктелер, яғни кез келген таңдалған нүктемен үш компланарлы емес тасымалдау векторларымен (трансляциялармен) байланысқан түймелер, кристалдың бүкіл кеңістігін алып тұратын үшөлшемді периодикалық торды құрайды. Осындай тордағы кез келген нүктенің орны векторымен анықталады. векторлары трансляцияның ең кішкене векторлары деп, ал олардың сандық шамалары – трансляция периодтары деп аталады.

Кейбір түйменің үш бағыт бойынша паралел тасымалдауы (трансляциясы) арқылы пайда болған тор трансляциялық тор немесе Бравэ торы деп аталады. векторларында салынған ең кіші параллелепипед кристалдың элементарлы ұяшығы деп аталады. Торды құрайтын бүкіл элементарлы ұяшықтардың пішіні және көлемі бірдей болып келеді. Тек шындарында ғана орналасқан бөлшектері бар элементарлы ұяшықтар қарапайым немесе примитивті деп аталады. Осындай әрбір ұяшыққа бір бөлшектен келеді. Ал тек шындарында ғана емес, басқа нүктелерінде де бөлшектері бар элементар ұяшықтар күрделі деп аталады.

Ұяшық базисі дегеніміз бір элементарлы ұяшыққа келетін түймелердің координаталар жиынтығын атаймыз. Тордың координациялық саны дегеніміз берілген атомды қоршайтын ең жақын көршілес бөлшектер саны.

Ең көп тараған күрделі торлар: көлемцентрленген (КЦ), базацентрленген (БЦ) және жағыцентрленген (ЖЦ) (Сурет 3).

Т орды салған кезде бір түймені ғана емес, бірнеше түймені трансляция жасауға болатын болса, онда ол базисі бар тор деп аталады.

КЦ БЦ ЖЦ

Сурет 3. Көлемцентрленген (КЦ), базацентрленген (БЦ) және жағыцентрленген (ЖЦ) кристалдар құрылымы

Кейбір қатты денелерге бір емес, әр түрлі температураларда және қысымдарда тұрақты екі және одан да көп кристалдық құрылымдар тән. Ондай құрылымдар заттың полиморфты түрлері немесе заттың модификациялары деп, ал бір модификациядан екінші модификацияға көшу – полиморфты ауысу деп аталады. Полиморфты ауысуларды грек әріптерімен белгілейді: қалыпты және одан төмен температурада тұрақты модификацияны  әріпімен белгілейді; жоғары температураларда тұрақты модификацияларды , ,  деп белгілейді.

Тордағы түймелерді, бағыттарды және жазықтықтарды Миллер индекстері сипаттайды.

Таңдалынған координат орталығына қатысты тордың кез келген түймесінің орны оның үш координатысымен анықталады :

; ; , (2.1)

мұнда a, b, c- тор параметрлері; m, n, p – бүтін сандар. m, n, p сандары түйме индекстері деп аталады және келесі түрде жазылады: . Теріс индекс үшін минус таңбасы индекс үстіне қойылады.

Кристалдағы бағытты сипаттау үшін координат орталығынан өтетін түзу және осы қатарда (бағыт, қабырға) орналасқан кез келген түйме таңдалынады. Түйме индекстері бір уақытта бағыт индекстері де болып келеді. Бағыт индекстері деп белгіленеді. Бағыт индекстері дегеніміз берілген бағытта орналасқан ең жақын түйменің орнын сипаттайтын үш ең кіші сан болып келеді. Егер қатар (немесе қабырға) координат орталығынан өтпеген жағдайда, оны ойша өз өзіне параллел координат орталығына тасымалдау қажет (себебі кристалдағы бүкіл параллел бағыттар бірдей мәнді болып келеді).

Жазықтықпен тор остерінде бөлінетін А, В, С үш кесіндісі оның орнын анықтайды.

Кез келген кристаллографиялық жазықтықтың Миллер индекстерін табу үшін, келесі алгоритммен жұмыс жасау қажет:

1. Берілген жазықтықта жатпайтын координат орталығын таңдау;

2. Координат осьтерінде жазықтықпен қиылатын А, В, С кесінділерін а, b, с осьтік кесінділер арқылы белгілеу;

3. Осы кесінділерге кері мәндерді табу: 1/А, 1/В, 1/С;

4. Алынған бөлшектерді ортақ D бөлімге келтіру.

5. Алынған үш санды h=D/A; k=D/B; l=D/C дөңгелек жақшаға алу . – жазықтың (жақтың) индекстері болып келеді.

жазықтығын салу үшін координат остерінде a/h, b/k, c/l кесінділерін белгілеу, солай алынған нүктелер арқылы тобына жататын координат орталығына ең жақын болып келетін жазықтық өтетін болады.

Гексагоналды және тригоналды сингониялардың кристалдарын индекстеу

Бұл жағдайда жазықтықтарды белгілеу үшін төрт ості координат жүйесімен қолданады: бір біріне қатысты 120⁰ градуспен орналасқан үш ось (а₁, а₂, а₃) алтыжақты призманың негізінде жатады (базис жазықтығында), төртінші ось (с) базис жазықтығына перпендикуляр (Сурет 4). Әр жазықтық төрт индекспен белгіленеді: h, k, i, l. Қосымша i индексі үшінші орынға қойылып, h және k : i = -(h+k) индекстері арқылы есептелінеді.

Сурет 4. Төртосьті координат жүйесі

Косинустар әдісімен жазықтық (жақ) символдарын анықтау. Кристалдың кез келген жазықтығының орны жазықтықтығының нормалі және координат осьтері арасындағы бұрыштарымен толықтай анықталады. Кубтік кристал үшін: (2.2)

Жазықтық және бағыт символдары арасындағы байланыс (жақтар және қабырғалар арасындағы).

Жазықтың қиылысатын қабырғасының символы бойынша осы 2 жазықтың символдарын біліп табуға болады және керісінше. Жазықтық және бағыт символы келесі өрнекпен тәуелді: . және екі жақ қиылысатын қабырғаның символдарын есептейік. Бұл үшін келесі теңдеулер жүйесін шығарайық:

(2.3)

Теңдеулер жүйесінің Шешімі. келесі детерминанталар болып келеді:

, , (2.4)

ал det-лар қатынасы жақтың символын береді:

(2.5)

Сол жолмен жақта орналасқан екі қабырға символында табуға болады

(2.6)

Кері тор

Кері тор түсінігі қатты кристалдық денедегі өтетін құбылыстарды математикалық тұрғыдан өте ыңғайлы, қарапайым түрінде түсіндіруге қолданатын белгілі абстракция. Әр кристалдық құрылымға екі тор сәйкес келеді: кристалдық тор және кері тор. Олардың тәуелділігі келесі өрнекпен беріледі: ; ; . (2.7)

- кері тор векторлары; - тура тор векторлары. Кристалдық тор векторларының өлшемділігі – ол ұзындық, ал кері тор векторларының өлшемділігі - [ұзындық]^-1.

болғандықтан, скалярлық көбейтінді келесі болады:

, (2.8)

. (2.9)

Кері тор құрған жағдайда векторлары сәйкесінше , , векторларына перпендикуляр және, керісінше, векторлары сәйкесінше келесі векторлар жұбына перпендикуляр- , , . Тура тор векторлары кері тор векторларымен ұқсас тәуелділікте:

; ; ; (2.10)

мұнда - кері тордың элементарлы ұяшығының көлемі: _.

Кері тор қасиеттері:

1. Тура және кері тор бір бірімен түйіндес болып келеді.

2. Кері торға кері болатын тор ол бастапқы тура тор.

3. Кері тордың әр * түймесі тура тордың (hkl) параллел жазықтықтарының жиынтығына сәйкес келеді.

4. Бравэ торының кері торы өзі Бравэ торы болып келеді.

Тура кристалдық торда трансляция векторларын бірдей атомдық көршілестері бар нүктелер жұбы байланыстырады. Кері кеңістікте келесі жиынтықты құрайтын кері тор векторларымен сипатталатын трансляция түсінігі кіріктіріледі: , (2.11)

мұнда h, k және l – бүтін сандар.

Егер тура тор нақты периодты болса, онда кері тор да, яғни, (2.11) шартына сәйкес келетін нүктелер жиыны периодты және шексіз болып келеді. Бірақ кері тор туралы түсінікті қолданып есептерді шығару ыңғайлы болса, кері кеңістіктің нақты көлемімен шектелген жөн. Бриллюэн зонасы дегеніміз кері тордағы Вигнер-Зейтц ұяшығы. Вигнер-Зейтц ұяшығын құрғанда, кері тордың кез келген түймесін ең жақын ұқсас түймелермен тіке сызықтармен байланыстырылады; содан осы сызықтардың ортасынан өтетін және осы түзулерге перпендикуляр жазықтықтар салынады. Нәтижесінде орталығы таңдалынған түймедегі орналасқан кеңістіктің тұйықталған аймағы пайда болады және бүкіл нүктелер тордың түймелерімен салыстырғанда осы аймаққа жақынырақ орналасқан (Сурет 5). Бриллюэнның бірінші зонасы ең кіші көлемді зона болып келеді. Ол толықтай өздеріне перпендикуляр координат орталығынан басталған кері тор векторларын екі жартыға бөлетін жазықтықтармен шектелген.

Сурет 5. Вигнер-Зейтц ұяшығы: а – екіөлшемді жағдай; б – көлемцентрленген кубтық кристалдық тор үшін; в – жағыцентрленген кубтық кристалдық тор үшін.

. (2.13) Бірақ: . Сонда . болғандықтан, ендеше .

Сонымен : .Жауабы: .