6. Тарау. Металдардағы электрондар. Фермидің еркін электронды газы

Еркін электрондардың моделіне сүйеніп, металдардың маңызды физикалық қасиеттерінің қатарын түсіндіруге болады. Металдардың келесі маңызды қасиеттеріне көңіл бөлу қажет:

1. Изотермиялық жағдайларда металда J тоқ тығыздығын Е электр өрісінің кернеулігімен  скалярлы электрөткізгіштік арқылы байланыстыратын Ом заңы жақсы орындалады: .

2. Металл электрдің өте жақсы өткізгіші (металдардың электрөткізгіштігі ~(10⁶10⁸) Ом^-1м^-1.

3. Металл жоғары _е электронды жылу өткізгішке ие. Видеман және Франц заңы бойынша жылудың жақсы өткізгіші электрдің де жақсы өткізгіші болып келеді. Белгілі температурада әр түрлі металдар үшін (_е/) қатынасының сәйкес келуі Видеман-Франц заңы болып келеді. Лоренцтің байқауынша (_е/Т) қатынасы температурадан тәуелді емес және көптеген металдар үшін бір мәнге ие, сондықтан да шамасын Лоренц саны деп атайды.

4. Егер метал белгілі жылусыйымдылық үшін _Д Дебай температурасымен байланыстырылған сипаттамалық температурадан төмен салқындатылса, онда _е артуы және  мәнінің одан да үлкен артуы байқалады.

5. Жеткілікті төмен температураларда  электрөткізгіштігі қанығуға жетеді және оның мәні тордың қоспаларымен және ақауларымен анықталады. Ферромагнитті металдарда және балқытпаларда да электр меншікті кедергіге өз үлестерін қосады.

6. Металдық элементтер жеткілікті төмен температураларда асқынөткізгішке айналады.

7. Бос электрондардың газы абсолют температураға пропорционал өте төмен меншікті жылусыйымдылыққа және температурадан тәуелді емес өте төмен магниттік қабылдағыштыққа ие болады.

8. Электр, магнит және температуралық градиенттерінің комбинациялары болғанда, көптеген термо-гальвано-магнит эффектілері пайда болады.

9. Өте таза монокристалдарда қуатты магнит өрістерінде бағыттан тәуелді эффектілер пайда болады; олардың мәні магнит өрісінің кернеулігінен ығысып тұратын тәуелділікке ие.

Еркін электрондар моделі бойынша, металдағы сыртқы электрондар кристал торының көлемінде еркін қозғала алады. Бұл валенттік электрондар өткізу электрондары деп аталады, себебі олар металдағы электр тоғының ұстаушысы болып келеді. Еркін электрондар моделінің негізінде қарапайым тұжырымдар жатады. Негізгілерін атап өтсек:

1. Электрондар қозғалысына соқтығысу арасындағы оң иондардың әсері елеусіз;

2. Электрондар бір бірімен әсерлеспейді. Электрондардың бұл қасиеті Паули қағидасының салдары болып келеді. Паули қағидасы бойынша екі немесе одан да көп фермиондар саны бір уақытта бір кванттық күйде бола алмайды. Паули қағидасына бағынатын еркін әсерлеспейтін электрондардың газы Фермидің еркін электрондық газы деп аталады.

3. Электрондардың толық энергиясын олардың кинетикалық энергиясына тең деп есептеуге болады, ал потенциалды энергиясы елеусіз. Ферми энергиясы _F электрондардың ең жоғарғы әлі толтырылмаған деңгейдегі энергиясы ретінде анықталады. Бірөлшемді жағдайда: (7.1)

мұнда n_F- ең жоғарғы толтырылған энергетикалық деңгейдің кванттық саны; N=2n_F- электрондар саны; m- электрон массасы; L- электрон қозғалысын шектейтін түзу сызықтың кесіндісінің ұзындығы (осы кесіндінің шеттерінде шексіз биіктіктегі потенциалды бөгеттер бар). Температура артқанда электрондық газдың кинетикалық энергиясы артады. Бұл жағдайда абсолют нөлдегі вакантты болған кейбір энергетикалық деңгейлер толтырылады және бір уақытта абсолют нөлде бос емес деңгейлердің кейбір бөлігі вакантты болып қалады. Т температурасындағы жылулық тепе-теңдік жағдайындағы идеалды электронды газдың  энергиясы бар күйідің электрондармен толтырылу ықтималдығы Ферми-Дирактың таралу функциясына бағынады:

, (7.2)

мұнда - химиялық потенциал.  -абсолют нөлде металдағы өткізу электрондарының максимал энергиясы: (f(E)=1/2). Электрондармен толтырылған ең биік деңгей Ферми деңгейі деп аталады. Оған осы деңгейдегі электрондардың Ферми энергиясы E_F –ке сәйкес келеді.

Т=0 К температурада энергиялар бойынша өткізу электрондарының таралу заңы: (7.3)

Металлдың көлем бірлігіндегі жалпы электрондар саны:

(7.4)

Осыдан: Т=0К-де электронның орташа энергиясы <Е>:

(7.5)

Ферми бетіндегі электрондар жылдамдығы:

(7.6)

k_F- k-кеңістіктегі электрондық күйлермен толтырылған сфералық аймақтың радиусы. Күйлер тығыздығы деп аталатын g(E) бірлік энергетикалық интервалына келетін күйлер саны: Ферми бетіне жақын бірлік энергетикалық интервалға келетін күйлер саны өткізу электрондар санының Ферми энергиясына қатынасына тең: .

Металлдардың жылуөткізгіштігі.

Металдар басқа қатты денелермен салыстырғанда жылудың және электрдің жақсы өткізгіштері болып келеді. Экспериментал орнатылған Видемана-Франц заңы бойынша _е жылуөткізгіштігінің қатынасы  меншікті электрөткізгіштігіне қатынасы көптеген металдар үшін температураға пропорционал, мұнда L пропорционалдық коэффициенті (Лоренц саны) бүкіл металдар үшін бірдей болып келеді:

. (7.7)

Друде осындай заңдылықты түсіндіру үшін жылулық ағынның негізгі бөлігі температура градиенті болған жағдайда өткізу электрондарымен тасымаладанады деген тұжырым енгізді. Друде моделі бойынша метал газдардың кинетикалық теория әділ болып келетін еркін электрондармен толтырылған жәшік секілді. Металдың электрнейтралдығына жету үшін жәшік тыныштық күйдегі оң зарядталған бөлшектердің сәйкес санымен толтырылған деп есептейміз. Электрондар жылдамдықтар бойынша Максвелл-Больцманның функциясымен үлестірілген:

(7.8)

мұнда n-электрондар концентрациясы. Осы үлестіруге сәйкес Т температурасында жылдамдықтардың 0 ден + мәніне ие және сыртқы күштер әсер етпеген жағдайда жылдамдықтардың бүкіл бағыттарының ықтималдықтары бірдей және оң зарядталған бөлшектермен соқтығысқан соң үнемі өзгеріп тұрады. Соқтығысу аралықтарында электрондардың басқа электрондармен және иондармен соқтығысуы ескерілген жоқ. Меншікті электрөткізгіш есептелгенде электрон 1/ ықтималдығымен бірлік уақытта соқтығысуларға ұшырайтыны (жылдамдық бағытын өзгертеді) болжауланған, мұнда - релаксация уақыты немесе электронның еркін жүгіру жолы.  уақытта электрон еркін жүгіру жолына тең қашықтық жүріп өтеді _эл.=. Егер металдың екі бос шетіне металдың әр нүктесінде Е кернеулігі бар өріс туғызатын потенциалдар айырмасын салсақ, онда екі соқтығысу арасында электрон (e-электрон заряды) әсерінен бірқалыпты үдемелі қозғалыста болады.  уақыт аралығы соңында векторы бағытында жылдамдық құраушысы мәніне өзгереді. Соқтығысудан кейін электрон жылдамдығы кез келген бағытқа ие болатындықтан, электрондардың орташа жылдамдығына -ның салымы нөлге тең болады, ал электрондардың орташа жылдамдығы өрісінің бағытында шамасының орташа мәніне тең болып келеді, яғни: (7.9)

Үдемелі қозғалыста жылдамдықтың бұл орташа мәні дрейфтік жылдамдық деп аталады ( - электрондардың дрейфтік жылдамдығы, өлшем бірлігі - м²/(Вс)). Барлық электрондарда жылдамдықтың бұл құраушысының болуы векторға кері бағытта металда теріс зарядтың қозғалысының пайда болуымен білінеді. Мұнда тоқ тығыздығын келесі өрнекті қолданып есептеуге болады:

(7.10)

Басқа жағынан, Ом заңы бойынша, тоқ тығыздығы:

(7.11)

Осыдан: Жылуөткізгіштікті есептегенде температура градиенті болған жағдайда электрондар атомдарға артық жылулық энергия берудің алдында бір соқтығысудан келесі соқтығысуға дейін еркін жүгіру жолына тең қашықтықты жүріп өтеді. Электрондық газға жылуөткізгіштік үшін газдардың кинетикалық энергиясы туралы ақпаратты қолдана отырып, келесі өрнекті аламыз:

(7.12)

мұнда С_v^эл.-электронды газдың жылусыйымдылығы; <>- электрондардың орташа жылдамдығы. Онда келесі қатынасты аламыз және деп алып:

(7.13)

Бұл Видеман-Франц заңы. L=2,4510^-8 ВтОм/К² тұрақтысы метал түріне тәуелсіз Лоренц саны деп аталады. Друде теориясы бойынша алынған Лоренц саны эксперименталды мәннен қатты ерекшеленеді. Бұл жайт Друде теориясы электрөткізгіштікті түсіндіруге электрондардың көп санын және жылуөткізгіштікті түсіндіру үшін - аз санын қажет ететімен байланысты. А. Зоммерфельд теорияның бастапқы тұжырымдарын сақтап, Паули принципіне бағынатын электрондар үшін, Максвелл-Больцман таралуы Ферми-Дирак үлестірілуі қолдану керектігін мәлімдеп, Ферми-Дирактың кванттық статистика амалдарын қолданды:

. (7.14)

О нда:

Мұнда L=2,4510^-8 ВтОм/К², бұл эксперименталды мәліметтермен өте жақсы сәйкес келеді.

Жалпы жағдайда металдардың жылуөткізгіштігі фонондармен пайда болатын жылуөткізгіштігінен және еркін электрондардың жылуөткізгіштігінен пайда болады: (7.15)

Металдарда фонондармен пайда болатын жылуөткізгіштік электрондармен пайда болатын жылуөткізгіштіктен 100 есе төмен.