3. Тарау. Кристалдардың серпімді қасиеттері

Қатты дененің механикалық қасиеттері кейбір сыртқы факторлардың әсеріне оның реакциясының бейнесі болып келеді. Қарапайым жағдайда, ондай сыртқы факторлар болатын механикалық әсерлер: сығылу, созылу, майысу, бұрау. Біріншіден, механикалық қасиеттер қатты денені құрайтын атомдар және молекулалар арасындағы байланыс күштерімен анықталады. Кристалға сыртқы созатын күш әсер еткен жағдайда атомдар арасындағы қашықтық артады және олардың кристалдағы тепе-теңдік жағдайы бұзылады. Бұл тордағы атомдардың тепе-теңдік күйіне тән тартылу және тебу күштерінің теңдігінің бұзылуына және атомдарды бастапқы тепе-теңдік күйіне оралтуға тырысатын ішкі күштердің пайда болуына әкеледі. Кристалдың қимасының бірлігіне келетін осы күштерді кернеу деп атайды: =F_іш./S, мұнда F_іш.-сыртқы күш, S- кристалдың қима ауданы. Біркелкі кернеуде (дененің бүкіл нүктелерінде бірдей) тепе-теңдік жағдайда қарама қарсы жақтарға әсер ететін күштер бірдей болып келеді. Сондықтан да, тек үш өзара перпендикуляр жақтарға әсер ететін күштер қарастырылады. Кубтың үш өзара параллел емес жақтарға әсер ететін кернеулер бір нормальды және екі жанама, яғни қарастырылатын жаққа тиесілі, құраушыға жіктеледі. Нормаль кернеулер ₁₁, ₂₂, ₃₃ – созатын немесе сығатын, жанама- ₁₂, ₂₁, ₂₃ және т.б. - ажырататын немесе жылжытатын. Жанама кернеулер пластикалық деформацияның дамуына әкеледі, ал нормаль – атомаралық байланыстардың үзілуіне, қатты дененің морт сынуына әкеледі. Механикалық кернеулердің тензорының тоғыз компонентасы бар:

Т_керн.= . (4.1)

Элементарлы куб тепе-теңдік жағдайында және кернеу біртекті болғандықтан, келесі шарт орындалады - ₂₃ =₃₂; ₃₁ = ₁₃; ₁₂ = ₂₁. Сонымен, кернеулер тензорының 9 компонентісінен тек алтауы тәуелсіз болып келеді және тензор симметриялық болып келеді _ij = _ji

Деформация дегеніміз қатты дененің көлемінің немесе пішінінің массасы қалыпты болған жағдайда сыртқы күш әсерінен өзгеруі. Бұл дененің екі нүктесі арасында қашықтық өзгеретін үрдіс болып келеді. Дененің салыстырамалы деформациясы: _, мұнда -дененің бастапқы ұзындығы; - созатын күш әсер еткеннен кейінгі ұзындығы. Кез келген нүктедегі деформация – ол координата бойынша ығысу туындысы (өлшемі жоқ шама): . Деформация тензоры дененің белгілі нүктесіндегі деформацияланған күйді білдіреді. Ол 6-ауы тәуелсіз болып келетін 9 компонентадан тұрады және симметриялық болып келеді:

= . (4.2)

Диагональ компонентілері ұзаруды немесе қысқаруды сипаттайды, компонентілері ығысу деформациясының компонентілері болып келеді.

Гук заңы

1. Изотропты қатты денелер үшін. Изотропты дене созылғанда (изотропты дене үшін кез келген еркін таңдалған бағыттар эквивалентті), деформация және кернеу өте аз болғанда, деформация кернеуге пропорционал: , S – серпімді өңделгіштік константасы (өңделгіштік). 1/S=С – серпімді беріктік константасы (беріктік, Юнг модулі Е=С). Осы шамалардың өлшем бірліктері: [S]=[аудан]/[күш]=[көлем]/[энергия ]; [С]= [күш ]/[аудан]= [энергия]/ [көлем]. Өңделгіштік аз болған сайын кристалл қаттылығы артады. Онда Гук заңы: . Жанама кернеулер әсер еткенде ығысу деформациясы үшін Гук заңы , мұнда G-ығысу модулі; tg- ығысу бұрышының тангенсі; F- күш; S- үлгінің ығысу жазықтығындағы қима ауданы.

Жан жақты сығылу жағдайында (немесе созылу) Гук заңы келесі түрде жазылады: , мұнда Р-гидростатикалық қысым, -жан жақты сығылу коэффициенті (немесе көлемдік деформация модулі); -көлемдік деформация.

Серпімді созылу немесе сығылу кезіндегі көлденең деформация көлденең бағыттағы өлшемдер өзгеруінің бойлық бағыттағы өлшемдер өзгеруіне қатынасына тең  Пуассон коэффициентімен сипатталады:

. (4.3)

Серпімділік константалары және Пуассон коэффициенті арасында байланыс бар: . Екі константаны біліп, үшіншісін оңай анықтауға болады.

Гуктың жалпыланған заңы кернеудің сәйкесінше деформация арасындағы сызықтық тәуелділікті орнатуымен қатар, кернеулер тензорының компонентілері және деформация тензорының әрбір компонентісі арасындағы байланысты сипаттайды.

Изотропты дене үшін Гуктың жалпыланған заңы келесі түрде жазылады:

Ұзарулар үшін:

(4.4)

Ығысулар үшін:

₁₂=_xy=₁₂/G=_xy/G;₂₃=_yz=₂₃/G=_yz/G;₃₁=_zx=₃₁/G=_zx/G; (4.5)

2. Анизотропты денелер үшін. Монокристалдар үшін кез келген бағыттар қасиеттері бойынша эквивалентті емес. Егер деформация елеусіз аз және біртекті болса, онда деформация тензорының әрбір компонентасы кернеулер тензорының барлық компонентілерімен сызықтық байланыста және, керісінше, кернеулер тензорының әрбір компонентасы деформация тензорының барлық компонентілерімен сызықтық байланыста болып келеді. Осы тұжырымдама анизотропты денелер үшін Гук заңының мәні ашылған:

(4.6)

немесе , (4.7)

мұнда және – сәйкесінше, серпімді өңделгіштік және серпімді беріктік тензорлары.

Деформация және кернеу тензорлары екінші рангты симметриялық тензорлар болған соң, S_ijkl және C_ijkl тәуелсіз компоненталар саны 36 болады. Келесі теңдіктер орындалған соң - S_ijkl = S_klij және C_ijkl = C_klij, тәуелсіз компоненталар саны 21-ге төмендейді. Ешқандай симметрияға иеленбейтін қатты дененің сонша константасы бар. Кубтық симметриясы бар кристалдар үшін серпімді константалар саны 3, себебі х, y, z бағыттары өзара перпендикуляр және толықтай ұқсас болып келеді. Серпімді беріктік тұрақтыларының жиынтығы келесі матрицамен өрнектеледі:

. (4.8)

Өңделгіштік және беріктік константалары арасында кристалл симметриясына байланысты белгілі байланыс кубтық сингония кристалдары үшін:

(4.9)

Серпімді энергия тығыздығы. Серпімді энергия тығыздығы U Гук жақындауында деформацияның квадраттық функциясы болып келеді:

, (4.10)

Мұнда 1-ден 6-ға дейінгі индекстер келесі түрде анықталады:

1=хх; 2=yy; 3=zz; 4=yz; 5=zx; 6=xy. коэффициенттері С коэффициентерімен байланысқан: . Кубтық кристалдың серпімді энергия тығыздығы келесі түрде жазылады:

(4.11)

Біртекті созылуда е_хх=е_yy=e_zz=/3. Онда энергия: . Немесе: U= мұнда -кубтық кристал үшін серпімділіктің көлемдік модулі. Серпімділіктің көлемдік модуліне кері шама сығымдылық деп аталады æ=1/В. Кристалдардың серпімді тұрақтыларын біліп, серпімді толқындардың таралу жылдамдықтарын анықтауға болады (көлденең және бойлық) және керісінше. 5 Тарау.Тор динамикасы

Қатты денелердегі көптеген құбылыстар кристалдық тордың атомдарының тербелістерімен байланысты, атап өтсек, жылусыйымдылық, жылуөткізгіштік, термиялық ұлғаю, электрөткізгіштік және т.б. Қатты денеде кез келген температурада атомдар өздерінің орташа тепе-теңдік жағдайы бойынша тербелістер жасайды. Аз амплитудаларда мұндай тербелістерді гармониялық деп есептеуге болады. Температура артқан сайын осы тербелістердің амплитудалары және энергиялары артады. Қатты денелердегі атомдар бір бірімен тығыз байланыста болғандықтан, бір атомдың қозуы көршілес атомдарға беріледі, сонымен қатар, олар өздерінің іргелес атомдарына жалғастырады. Бұл үрдіс қатты денедегі дыбыс толқындарының таралу үрдісіне ұқсас. Мұндай ұжымдық қозғалыс тордың қалыпты тербелісі деп аталады. Тордағы пайда бола алатын қалыпты тербелістердің саны кристалдың бөлшектерінің еркіндік дәрежесі санына тең, яғни 3N (N- кристалды құрайтын бөлшектер саны). Бір бірімен байланысқан атомдардың ықтимал тербелістерін кристалдың бүкіл көлемі бойынша таралатын өзара әсерелесетін әр түрлі толқын ұзындықтағы серпімді толқындар ретінде қарастыруға болады. Қатты дене өлшемдері бойынша шектелген болғандықтан, берілген температурада тербелістердің тіке толқындардың суперпозициясы болатын тербелістердің стационарлік күйі орнатылады. Кристалдық тордың тербелістерінің толқыны атомдардың тепе-теңдік күйі бойынша ығысуының қайталанатын және жүйелік реті болып келеді (құма, көлденең немесе олардың комбинациясы), және ол келесі параметрлермен сипатталады:

-таралу жылдамдығымен ;

-толқын ұзындығымен  немесе толқындық вектормен | | =2/;

-  жиілікпен немесе бұрыштық жиілікпен = 2= .

Атомдардың бірөлшемді қатарында пайда бола алатын ең кіші толқын ұзындығы қатардағы атомдар арасындағы екі еселенген қашықтыққа тең болады: .

Оған толқын ұзындығы бойынша келесі өрнекпен тәуелді максимал жиілік сәйкес келеді: . - қатардағы толқынның таралу жылдамдығы.

Ығысқан атомдарға әсер ететін қайтаратын күштерді қарастырып, кез келген ығысу үшін қозғалыс теңдеуін жазуға және жиілікті толқын ұзындығымен байланыстыратын дисперсионды теңдеу алуға болады.

Классикалық тұрғыдан, осы дисперсионды теңдеуге сәйкес келетін толқын кез келген амплитудаға ие болуы мүмкін. Бірақ, тордың элементар квантталған тербелістеріне, электромагнит сәулеленудің кванттарына және заттың бөлшектеріне секілді корпускулалық толқындық дуализм тән болады. Тордың тербеліс энергиясы немесе серпімді толқын энергиясы кванттық шама болып келеді. Серпімді толқынның энергиясының кванты фонон деп аталады. Фонондар, фотондар секілді, Бозе-Эйнштейн таралу функциясымен сипатталады: .

Фонондардың энергиялар бойынша таралуы келесі суретте көрсетілген.

Сурет 8. Фонондардың энергиялар бойынша таралу функциясы

Шығаратын фонондар саны қалыпты тербелістің қозу деңгейінен тәуелді. Қатты денедегі ығысу толқынының таралуы бір немесе бірнеше фонондардың қозғалысы ретінде қарастыруға болады. Мұнда әр фонон тасымалдайтын энергия және импульс . Негізінде тордағы фононның импульсі болмайды. Тек толқындық векторы бар жүйенің біртекті орын ауыстыруына сәйкес келетін фононның физикалық тұрғыда импульсі болады. Тордағы фонондардың импульсі болмайтындығы олардың координаталары атомдардың салыстырмалы координаталары арқылы өрнектелетіндігінен болып келеді (ерекше жағдай фонондары үшін). Сондықтан да фононың табиғатын қарастырғанда квазиимпульс түсінігі кіріктіріледі, яғни, фонон импульсі бар болып қарастырылады. Егер толқындық векторы ден ға өзгеретін фотон немесе нейтронның серпімсіз шашырау үрдісінде толқындық векторы фонон пайда болса, таңдау ережесі келесі түрде жазылады: , мұнда - кері тор векторы.

Тербеліс жиілігін толқындық векторынан тәуелділігін көрсететін қисықтар дисперсионды қисықтар деп аталады. Бірдей атомдардан тұратын тордағы тербелістерді қарастырсақ, онда дисперсионды заң келесі түрде жазылады:

, (5.1)

мұнда М-атом массасы, С_р- р қашықтықтағы жазықтықтардың күштік тұрақтысы, а- тор параметрі. Әсерлесуді ең жақын көршілермен ғана ескерген жағдайда дисперсионды теңдеу өрнегі:

(5.2)

. (5.3)

Плюс және минус қарама қарсы бағыттарда тарайтын толқындарға сәйкес келеді. Ал егер ka<<1, sin(ka/2)ka/2, онда ₀k, мұнда ₀= а(М/m)^1/2. Үлкен толқын ұзындықтары немесе төмен жиіліктер аймағында дисперсия болмайды, сондықтан фазалық /k және топтық жылдамдықтар бір бірімен сәйкес келеді және ₀ дыбыс жылдамдығына тең болып келеді (₀5000 м/с). Топтық жылдамдық дегеніміз – ортада энергияны тасымалдау жылдамдығы. Дисперсионды теңдеуден топтық жылдамдық:

. (5.4)

Бриллюэн зонасының шетінде топтық жылдамдық нөлге тең (таралмайтын толқын).

Егер көршілес атомдар бір фазада тербелсе және k=0 болған жағдайда _ак=0, олай болса мұндай тербелістер акустикалық деп аталады, себебі олар қатардың дыбыс тербелістерінің бүкіл спектріне ие болады. Олар кристалдардың жылулық қасиеттерін анықтауда басты рөл атқарады, атап өтсек, жылу сыйымдылық, жылу өткізгіштік, термиялық ұлғаю. т.б. Ал оптикалық тербелістер дегеніміз көршілес атомдардың кері фазада тербелуі. Олар кристалдың жарықпен әсерлесуінде басты рөл атқарады.

Егер қарапайым ұяшықта р-атом болса, фонондар үшін дисперсионды заң үш акустикалық тармақты болады және (3р-3) фононды тармақты. Екіатомды кристалда байланысқан фонон-фотонды тербелістер үшін _т арасында жиіліктердің тыйым салынған интервалы болады (көлденең оптикалық тербелістердің жиілігі) және _L (құма оптикалық толқындардың жиілігі). Осы интервалда жататын жиіліктері бар көлденең толқындар кристалда таралмайды.

Төмен және жоғары жиіліктерде өлшенген _L және _т шамаларанының диэлектр өтімділіктерімен байланысы Лиддейн-Сакс-Теллер өрнегі бойынша жүзеге асырылады: . (5.5)

Диэлектр функциясының нөлдері  құма тербелістерімен байланысты, ал функция полюстері – көлденең тербелістерімен байланысты.

Тор тербелістерінің теориясының мәселелерінің бірі - бұл қалыпты тербелістердің жиіліктер бойынша таралуы. d спектралды аймағының қалыпты тербелістерімен толтырылу тығыздығын анықтайтын функция, қалыпты тербелістердің жиіліктер бойынша үлестірілу функциясы: . Мұнда V- кристалл көлемі. Торда пайда бола алатын тербелістердің саны 3N болғандықтан, g() келесі нормалау шартын қанағаттандыру қажет: . Мұнда _Д- қалыпты тербелістер спектрін жоғарыдан шектейтін максималды жиілік. Ол сипаттамалық дебай жиілігі деп аталады және келесі өрнекке тең: . температурасы Дебайдың сипаттамалық температурасы деп аталады. Дебай температурасында қатты денеде қалыпты тербелістердің бүкіл спектрі қозады, соның ішінде ең максималды _Д жиілігі бар тербелістер де іске қосылады. Сондықтан да температураны әрі қарай артқан жағдайда (_Д –дан жоғары) жаңа қалыпты тербелістер пайда бола алмайды. Мұнда температураның әсері олардың орташа энергиясының өсуіне себеп болатын тек әр қалыпты тербелістің қозу деңгейінің артуына әкеледі. температураларын жоғары деп аталады.