8. План полного факторного эксперимента

Планирование эксперимента – процедура выбора количества экспериментов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Факторами называются величины, которые экспериментатор изменяет по своему усмотрению. Факторы – вектора.

Полным факторным экспериментом называется эксперимент, при котором реализуются все возможные сочетания уровней варьирования.

Свойства полного факторного плана эксперимента.

1. Симметричность относительно центра эксперимента: Алгебраическая сумма элементов вектора столбца каждого фактора равна нулю.

2. Ортогональность матрицы планирования: Сумма произведений элементов любых двух векторных столбцов равна нулю.

3. Условие нормировки: Сумма квадратов элементов столбца каждого фактора равна количеству опытов.

4. Точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления

9. Классификация планов эксперимента

Планирование эксперимента – процедура выбора количества экспериментов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Факторами называются величины, которые экспериментатор изменяет по своему усмотрению. Факторы – вектора.

I=F^T∙F – информационная матрица плана [x]. C=I^-1 – ковариационная матрица плана [x]/

План эксперимента называется ортогональным, если информационная матрица диагональная

Ортогональные планы используются, когда точный вид модели неизвестен и исследователь использует данные для отбора переменных, которые существенно влияют на выходную величину.

План называется центральным, если его центр расположен в начале координат.

Матрица I – диагональная => план ортогональный.

Композитностью плана называется свойство плана, позволяющее разделить эксперимент на несколько этапов и постепенно переходить от простых моделей к более сложным, используя предыдущие наблюдения.

Насыщенность плана – связь между количеством факторов М и опытов N, если N<M, то нельзя найти ед. значения коэффициентов модели [a_e].

Критерий оптимальности плана.

1-я группа – следит за точностью экспериментов модели. [a_e] – оценивает точность коэффициентов модели. D, A, E – оптимальность.

2-я группа – оценивает точность предсказания по модели η. G, Q – оптимальность.

3-я группа – связана со стратегией эксперимента

Коэффициенты модели случайной величины имеют доверительный интервал.

D – оптимальные планы – называются планы, которые соответствуют min определителю по ковариационной матрице .

С=I^-1=(F^T∙F)^-1

min|c|

Определитель ковариационной матрицы пропорционален объему эллипсоида рассеивания коэф. модели.

А – оптимальные планы– это планы, которым соответствует минимальный след ковариационной матрицы.

(след): SpurC=С₁₁+С₂₂+С₃₃+С_LL

А – оптимальные планы обеспечивают минимум средней дисперсии коэффициентов модели.

Е – оптимальный план – соответствует собственному значению ковариационной матрицы.

λ – собственное значение матрицы С. Система уравнений С∙x, в этой системе матрицу можно заменить числом, расположенным по диагонали – это собственное значение матрицы.

Е – оптимальные планы не позволяют дисперсиям отдельных коэффициентов моделей иметь недопустимо большие размеры.

G – оптимальные планы – минимизируют максимально возможную дисперсию предсказания от модели: min (maxD(η)). Эти планы гарантируют, что в области эксперимента нет точек, которые имеют низкую точность вычисления по модели.

Q – оптимальные планы – минимизируют среднюю дисперсию предсказания. minD_cp(η), D_cp – средняя дисперсия.

Построить планы, удовлетворяющие одновременно нескольким критериям оптимальности можно только для простых моделей, поэтому используют планы, построенные на компромиссном решении, близкие к оптимальным планам по разным критериям. Такие планы называются робастные планы.

е^(D), е^(A), е^(E), е^(Q) и т.д. – коэффициенты. Чем ближе произв. план к оптимальному оценивают коэффициенты е.

10. Критерии оптимальности планов эксперимента.

11. Построение линейных и квазилинейных уравнений регрессии на базе планирования эксперимента

12. Проверка значимости коэффициентов линейных и квазилинейных моделей

13. Построение регрессионных моделей второго порядка

14. Регрессионный анализ

Регрессионный анализ. Регрессионным анализом называется статический анализ регрессионной модели η=f(x), в которой зависимая переменная η является случайной величиной, а независимая переменная х – детерминированный (неслучайный) фактор.

Проверка адекватности модели. Проверка основана на сопоставлении рассеяния значений зависимых элементов η относительно линии регрессии описываемой моделью с рассеяниями значений отклика у относительно (сравниваем дисперсию отклика) его мат. ожидания, называется дисперсией наблюдений.

Анализ остатков. Остаток – разность между экспериментальными значениями отклика и предсказанными моделью.

Анализ остатков выполняется графическим способом. По оси абсцисс – порядковый номер опыта. Ось ординат: Δy_i/S_r – средний квадрат ошибки.

С редняя линия – линия средних значений относительно остатков. Выброс – остаток, который по абсолютной величине значительно превосходит остальные остатки. Выброс показывает точку, не типичную для набора данных. Количественно выброс оценивается: |y_i/S_r|>2 – точка выброса. Точка выброса исключается из рассмотрения. Максимально количество точек(0,15…0,20)Т. При большем количестве выбросов модель не удовлетворительна.

Е сли линия средних значений параллельна оси абсцисс, то говорят, что тренд отсутствует (в противном случае есть). Трендом называется отклонение линии средних значений относительно остатков от параллельности оси абсцисс. тренд является следствием изменения условий проведения эксперимента с течением времени. Тренд можно устранить, для этого в модель вводится линейная составляющая, зависящая от времени.

С качок появляется вследствие внезапной разрегулировки установки (необходимо заново отрегулировать).

Е сли полоса ведет себя по-другому – модель не удовлетворительна.

Погрешности.1. Относительная средняя погрешность:

15. Оценка фактора времени при планировании эксперимента

16. Выбор лучшей модели по среднеквадратичной ошибке аппроксимации

17. Критерий Уилкса выбора лучшей модели

18. Выбор лучшей модели по комплексной функции качества

19.Стратегия экспериментальной работы. Выбор объекта исследования, целевой функции, объема выборки, основного уровня и интервалов варьирования факторов.

20. Особенности промышленного эксперимента

21. Организация контроля над выполнением программы экспериментальной работы.

22. Оценка завершенности экспериментальной работы