5. Операторы простой структуры и их канонический вид.

Пусть λ₀ собственное значение оператораφ ,тогда мн-во называется собственным подпространством оператора , соответствующим собственному значению λ₀ .

Опр-е: Размерность собст. подпр-ва наз-ся геометрической кратностью числа λ₀ , а кратность λ₀ ,как корня характер-кого многочлена называется алгебраической кратностью.

Опр-е. Линейный оператор принадлежащий мн-ву лин операторов, действующ из V в V, т.е называется оператором простой структуры, если в пространстве V существ базис из собств векторов этого оператора.

Теорема1. 1-й критерий простой структуры. Лин оператор имеет простую структуру , когда в пр-ве V существ базис, в котором матрица оператора - диагональная.

В связи с Теоремой 1оператор простой структуры называют диагонализируемым.

След-е. В n-мерном линейном пространстве оператор, имеющий n различных собственных значений является оператором простой структуры.

Замечание. Обратное утверждение неверно. Например, тождественный оператор имеет простую структуру, но только одно собственное значение 1.

Теорема2. 2-й критерий простой структуры. Лин оператор имеет простую структуру , когда прямая сумма всех его собственных подпространств дает пространство V, т.е. .

Доказ-во: необх-ть_Пусть опер-р имеет простую структур, тогда сущ-ет базис из собст-х векторов этого опер-ра. Каждый в-р этого базиса одному из собств-х подпростр-в, тогда + +…+ , но эта сумма прямая, т.к собств. значения различны. Дост-ть_Пусть выпол-ся (1), тогда в силу критерия прямой суммы, совок-ть базисов слагаемых подпростр-в дает базис пр-ва . сущ-ет базисиз собств-х век-в опер-ра - имеет простую структуру. ЧТД

Теорема3. 3-й критерий простой структуры. Лин оператор, действующий в комплексном пр-ве имеет простую структуру когда для каждого собственного значения этого оператора геометрическая кратность совпадает с алгебраической.

Док-во. Пусть – собственные значения оператора , действующ в комплексном простр-ве V. Пусть соответствующие алгебраические и геометрические кратности собственных значений . Т.к. V комплексное пространство и характеристический многочлен оператора φ -это многочлен степени n= dimV, то . (т.к. геометрическая кратность собственного значения не превосходит его алгебраической кратности). С другой стороны условия 2-го критерия можно заменить эквивалентными .

Замечание. Также как для линейн операторов определ собствен значения и собств векторы для квадратной матрицы, при этом квадратная матрица называется матрицей простой структуры, если она имеет n линейно независимых собственных векторов.

Линейный оператор является оператором простой структуры, когда его матрица является матрицей простой структуры, а из 1-го критерия следует, что матрица будет иметь простую структуру когда она подобна диагональной матрице.

!!!Если спросят. Опр. прямой суммы. Сумма подпр-в пр-ва наз-ся прямой, если разложение каждого вектора в ней по слаг-ым подпр-ва единственно.