14. Предельная точка последовательности. Верхний и нижний пределы.

Окрестностью точки хR наз-ся интервал, содержащий данную точку.

-окрестностью точки х наз-ся интервал (x-; x+).

Точка pRназ-ся предельной точкой мн-ва XR, если  окрест-ть этой точки содержит  подмн-во мн-ва Х. Это условие равносильно тому, что в  окрест-ти точки p по крайней мере одна точка мн-ва Х, несовпадающая с точкой p. Например: 1) для интервала (a,b) предельным является весь отрезок [a,b]. 2) для послед-ти {(1/n)R; nN} предельная точка p=0.

ЛЕММА: Всякое  ограниченное числовое мн-во имеет по крайней мере одну предельную точку.

Числовой последовательностью {х_n} называется отображение f: N→R, т.е. такое, что nN сопоставлен элемент f(n)=х_n.

Число АR называется пределом числовой посл-ти {х_n}, если для  окрест-ти точки А такой номер N, выбираемый в зависимости от этой окрестности, что все члены посл-ти, номера кот-ых больше, чем N, принадлежат указанной окрес-ти:

∀>0 N(): n>N() x_n-A<.

Посл-ть, имеющая предел, наз-ся сходящейся; соответсвенно, не имеющая предела, – расходящейся.

Пример: 1) x_n= 1/n, x_n0 при n∞ - сходящаяся.

2) расходящаяся посл-ть: x_n= (-1)ⁿ

Если  число А и N: x_n=An, то посл-ть {x_n} наз-ся финально постоянной.

Посл-ть {x_n} наз-ся ограниченной, если  М: |x_n|<MnN.

ТЕОРЕМА: а) финально постоянная посл-ть сходится; б)  окрест-ть предела посл-ти содержит все ее члены за исключением конечного числа; в) посл-ть не может иметь двух различных пределов; г) сходящаяся посл-ть ограничена.

Пусть дана некоторая послед-ть {x_n} и n₁<n₂< …<n_k<… - возростающая посл-ть натуральных чисел, тогда из исходной последовательности {х_n} можно выделить последовательность , кот-ая наз-ся подпоследовательностью посл-ти {x_n}.

ЛЕММА (БОЛЬЦАНО-ВЕЙЕРШТРАССА): Каждая ограниченная посл-ть действ-ных чисел содержит сходящуюся подпосл-ть.

Будем говорить, что:

1. x_n +, если E>0 NN: n>Nx_n>E.

2. x_n -, если E>0 NN: n>Nx_n<-E.

3. x_n, если E>0 NN: n>N |x_n|>E.

ЛЕММА: Из каждой посл-ти действительных чисел можно извлечь сходящуюся подпосл-ть или подпосл-ть, стремящуюся к .

Возьмем произвольную посл-ть действительных чисел {x_n}.Если она огранич. снизу, то рассмотрим посл-ть - инфимумов хвостов посл-ти.

Если ni_ni_n+1, тогда либо  , либо i_n→ +∞.

Число наз-ся нижним пределом посл-ти x_nи обозначается .

Если i_n→+, то .

Если посл-ть {x_n} не ограничена снизу, то nN , тогда .

Краткое определение нижнего предела:

.

Аналогично, рассм-ая посл-ть , определяется верхний предел посл-ти .

Пример:

1) x_k =(-1)^k, kN:

2) , kN:

Число или символ ±∞ называют частичным пределом посл-ти, если в ней есть подпосл-ть, сходящаяся к этому числу или символу ±∞.

[ТЕОРЕМА «о двух милиционерах»: Пусть даны посл-ти {x_n}, {y_n}, {z_n} причем n>N выполняется неравенство x_ny_nz_nи . Тогда посл-ть {y_n} сходится и ]

УТВЕРЖДЕНИЕ: Нижний и верхний пределы ограниченной посл-ти являются соответственно наименьшим и наибольшим из ее частичных пределов.

Док-во: 1. Для нижнего предела: пусть . Посл-ть не убывает и , iR. Используя определение точной нижней грани, т.е. инфимума, для nN по индукции подберем натуральные числа , k_n<k_n+1. Т.к. , то по теореме «о двух милиционерах»

, т.е. i является частичным пределом нашей посл-ти. Он будет наименьшим, т.к. >0 nN: i–<i_n и справедлива цепочка неравенств:

kn, т.е. i–<x_kkn. А значит ни один частичный предел посл-ти не может быть меньше, чем i–. Но >0 выбирали произвольно, поэтому ни один частичный предел не может быть меньше i.

2. Для верхнего предела: пусть . Посл-ть – не убывает и , sR. Используя определение точной верхней грани, т.е. супремума, для nN по индукции подберем натуральные числа , k_n<k_n+1. Т.к. , то по теореме «о двух милиционерах» , т.е. s является частичным пределом нашей посл-ти. Он будет наибольшим, т.к. >0 nN: s+>s_n и справедлива цепочка неравенств: kn, т.е. s+>x_kkn. А значит ни один частичный предел посл-ти не может быть больше, чем s+. Но >0 выбирали произвольно, поэтому ни один частичный предел не может быть больше s.

СЛЕДСТВИЕ 1: Посл-ть имеет предел или стремится к ±∞  нижний и верхний предел совпадают, т.е. .

СЛЕДСТВИЕ 2: Посл-ть сходится  сходится ∀ её подпосл-ть.□Необходимость: Пусть посл-ть сходится, значит верхний и нижний пределы подпосл-ти заключены м/д верхним и нижним пределом посл-ти. Если посл-ть сходится, то ее верхний и нижний пределы совпали (см. следствие 1).  совпали пределы и у подпосл-ти, значит она тоже сходится.

Достататочность: В качестве подпосл-ти можно взять саму посл-ть, поэтому достаточность очевидна.

1.

а: 1) >0 NNn>N: |x_n–a|<

2) >0  N()N: n>N() x_na+

2.

 b: 1) >0 NN n>N: |x_n–b|<

2) >0 N()N: n>N() x_nb–