6. Системы линейных уравнений. Методы решения. Условия разрешимости.

Система вида (1) наз-ся системой m линейных уравнений с n неизвестными.

n-ка чисел (l_1,l_{2, …,}l_n) наз-ся решением сист. (1), если при подстановке чисел l_i вместо X_i каждое ур-ие системы превращается в верное равенство.

Система, имеющая решения, наз-ся совместной. Система, не имеющая решений, наз-ся несовместной. Совместная система, имеющая единственное решение, наз-ся определенной. Если решений более одного, система наз-ся неопределенной.

Матрица составленная из коэффициентов при неизвестных наз-ся матрицей системы. Если к ней приписать справа столбец свободных коэффициентов, получится расширенная матрица системы.

Систему (1) можно записать в матричной форме:

_AX=B, где A – матрица системы; X – столбец неизвестных; B – столбец свободных членов. .

Две системы наз-ся эквивал-ми, если множ-во их реш-й совпадает.

Теорема Крамера: Если определитель матрицы системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, вычисляемое по формулам Крамера: , , где  – опред-ль матрицы системы; – определитель, полученный из  путем замены j-го столбца столбцом свободных коэф-тов.

Решение ЛУ с помощью обратной матрицы.

AX=B – матричная запись системы (1). Если detA 0, то сущест-ет обратная матрица А^-1, ; .

Теорема Кронекера-Капели.Система линейных уравненийсовместна ,когда ранг ее матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы.

Док-во: необх-ть:Пусть AX =Bсовместна,т.еонаимеетхотя бы однорешение , .

^{Обозначим:a}₁^,a₂^,…,a_n^{и перепишем ,} аэтозначит, что вектор явл-ся линейнойкомбинациейвект-в, поэтомуврасширеннойматрице последнийстолбецестьлинейнаякомбинация векторов,аэтозначитлинейно-независимых вектороввсистеме столькоже, скольковс-ме ,аэтозначит rang =rangA.

Дост-ть:ПустьrangA=rang =rв и естьr-линейнонезависимыхвекторов, пусть ^, тогдаb-естьлинейная комбинация этихвекторов.

перепишемввиде:

^, тогда , явл-сярешениемсистемыAX =B.

МетодГаусса.

Элементарными преобразованиями системы являются следующие:

1.Умножениеобеихчастейнекоторогоуравненияначислоотличноеот0;

2.переменаместамидвухуравненийсистемы;

3.прибавлениекнекоторомууравнениюсистемыдругогоуравнения,умноженногонаэточисло.

Еслиоднасистемаполученаиздругогоконечнымчисломэлементарныхпреобразований,тоэтисистемыэквивалентны.Рассмотримсистему mуравненийсnнеизвестными:

(1)

Предположим, чтокоэффициент ,еслиэтонетак,топоменяемместамиравнениятак,чтобы былоотличноот 0.

Умножаем первоеуравнениеначисла: иприбавляемпоследовательноковсемуравнениям,начиная совторого. Врезультатевкаждомуравненииначинаясовторого,исключитсянеизвестная иможетбытьещенекоторыенеизвестные.Предыдущая системапринимает вид:

(4).

Есливвыделенной системевсекоэффициентыпринеизвестных нулевые,топроцесс закончен.Еслихотябыодинкоэффициент отличенотнуля, топоменяем местамиуравнения ислагаемые так,чтобы коэффициент ввыделенной системе занял позицию 11,послечеговыполняем предыдущие действия ввыделеннойсистеме.

Продолжая аналогично не более чем через m шагов получимсистемутакназываемогоступенчатого вида:

(5).

Вэтойсистеме , , 0. Длясистемы(5)возможны 3случая решения: 1. ,тогдасистема(5)будетиметьверхнетреугольныйвид

(6), причем и .

Подставим найденное впредпоследнееуравнениеинайдем и т.д.Найдемвсенеизвестныедо включительно. ЭтотпроцессназываетсяобратнымходомметодаГаусса.Апроцесс исключения неизвестных -прямым ходом Гаусса.Вэтом случаесистема(1)имеетединственноерешение.

2. исредичисел хотябыодноотличноот0,вэтомслучаесистеманесовместна.

3. и^˜ .Вэтомслучаевуравнениях спервогопоpперенесем неизвестныеначиная сp+1излевойчасти вправую. Влевойчасти матрицакоэфф-овпринеизвестныхверхнетреугольная,причемееопределительравен ^{произведениюэлементов главной диагонали: ,нотогдапотеоремеКрамера неизвестные} определяютсяоднозначно (тоестьединственнымобразомвыражаются черезнеизвестные . Неизвестные называются главными, -свободные.Такимобразомглавныенеизвестныевыра-тсячерезсвободные,придаваясвободнымнеизвестнымпроизвольныезначенияивычисляязначенияглавныхнеизвестных пополученным формулам, получаем бесконечноемножестворешенийсистемы.