2.2 Структура цифровых фильтров

Проектирование цифровых фильтров состоит в решении задачи аппроксимации и задачи собственно синтеза. В первой задаче отыскивается передаточная функция реализуемого фильтра, "которая являлась бы аппроксимацией некоторой выбранной идеальной характеристики. Например, «идеальный» фильтр нижних частот должен обладать прямоугольной амплитудно - частотной характеристикой. Так как такую функцию невозможно реализовать с помощью резисторов, емкостей и индуктивностей, приходится искать удобную аппроксимацию. Часто это можно сделать определением соответствующего местоположения полюсов и нулей в комплексной частотной области. После того как получены 'полюсы и нули, необходимо найти процедуру синтеза для практического осуществления передаточной функции реальными элементами. .  Задача аппроксимации для цифровых фильтров по идее не отличается от такой же задачи для аналоговых фильтров. Цифровые фильтры могут определяться с помощью возможной аналогии или исходя из требуемого вида квадрата модуля передаточной функции. путем использования процедур‚ сходных с процедурой расчета непрерывных фильтров Баттерворта и Чебышева. Этот метод будет рассмотрен ниже, а условия реализуемости фильтров при этом методе рассматриваются в приложении, помещенном в конце данной главы.  При другом способе, применяемом различными исследовательно, для приведения задачи расчета цифровых фильтров к задаче расчета непрерывных фильтров используется конформное отображение.

Для БИХ-фильтров широко используются три структуры — прямая, каскадная и параллельная формы. Прямая форма — это непосредственное представление передаточной функции БИХ-фильтра. В каскадной форме передаточная функция БИХ-фильтра факторизуется и выражается как произведение звеньев второго порядка. В параллельной форме H(z) раскладывается на сумму звеньев второго порядка. На рисунке 2.5 приведена структурная схема БИХ-фильтра.

Рисунок - 2.5. Структурная схема БИХ- фильтра

На рисунке 2.6 приведена структурная схема вторая форма биквадратного рекурсивного фильтра

Рисунок -2.6. Структурная схема вторая форма биквадратного рекурсивного фильтра

На рисунке 2.7 представлена каскадная структура фильтров

2.3. Методы синтеза цифровых фильтров

На этом этапе выбирается один из методов аппроксимации и вычисляются значения коэффициентов h(k) (для КИХ-фильтра) или a_k и b_k (для БИХ-фильтра). Метод вычисления коэффициентов фильтра зависит от того, к какому классу относится фильтр — КИХ или БИХ.

Вычисление коэффициентов БИХ-фильтра традиционно основывается на преобразовании характеристик известных аналоговых фильтров в характеристики эквивалентных цифровых. При этом используются два основных подхода: метод инвариантного преобразования импульсной характеристики и метод билинейного преобразования. При использовании метода инвариантного преобразования импульсной характеристики после оцифровки аналогового фильтра сохраняется импульсная характеристика исходного аналогового фильтра, но не сохраняется амплитудно-частотная характеристика. Вследствие внутреннего наложения данный метод не подходит для фильтров верхних частот или режекторных фильтров. Билинейный метод, с другой стороны, обеспечивает весьма эффективные фильтры и хорошо подходит для вычисления коэффициентов частотно-избирательных фильтров. В результате можно создавать цифровые фильтры с известными классическими характеристиками, такими как в фильтрах Баттерворта, Чебышева или эллиптических. Цифровые фильтры, полученные методом билинейного преобразования, будут, в общем случае, иметь ту же амплитудную характеристику, что и аналоговые, но иные свойства во временной области. В настоящее время доступны эффективные компьютерные программы вычисления коэффициентов фильтров, в которых используется билинейный метод, и в которых требуется только задать нужные параметры фильтра. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики хорош при моделировании аналоговых систем, но для частотно-избирательных БИХ-фильтров лучше использовать билинейный метод.

В качестве альтернативной схемы вычисления коэффициентов БИХ-фильтров применяется еще метод размещения нулей и полюсов — простой путь вычисления коэффициентов очень простых фильтров. В то же время, для фильтров с хорошей амплитудной характеристикой данный метод использовать не рекомендуется, поскольку в нем фигурирует перебор положений нулей и полюсов.

Коэффициенты КИХ-фильтров также можно вычислить несколькими различными способами. В данной книге подробно рассмотрено три метода: вырезания (взвешивания), частотной выборки и оптимальный (алгоритм Паркса–Мак-Клиллана (Parks McClellan)). Метод взвешивания предоставляет очень простой и гибкий способ вычисления коэффициентов КИХ-фильтра, но не позволяет разработчикуад екватно управлять параметрами фильтра. Самой привлекательной чертой метода частотной выборки является то, что он допускает рекурсивную реализацию КИХ-фильтров, что может быть весьма вычислительно выгодно. В то же время, этомумет одуне достает гибкости в плане управления или задания параметров фильтров. В настоящее время в промышленности широко используется оптимальный метод (в совокупности с дополняющей его эффективной и простой в использовании программе), который в большинстве случаев дает требуемый КИХ-фильтр. Следовательно, при проектировании таких фильтров вначале стоит испробовать оптимальный метод, если только конкретное приложение не предусматривает использования другого метода.

Существует несколько методов вычисления коэффициентов фильтров, наиболее используемые из них перечислены ниже.

1. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики (БИХ).

2. Билинейное преобразование (БИХ).

3. Размещение нулей и полюсов (БИХ).

4. Метод взвешивания (КИХ).

5. Частотная выборка (КИХ).

6. Оптимизационные методы (КИХ).

На выбор метода, наиболее подходящего для конкретной задачи, влияют несколько факторов, в частности, критичные требования в спецификациях. Вообще, основным является выбор междуКИХ и БИХ. Если наличие конечной импульсной характеристики существенно, то стоит использовать оптимальный метод, если же желательна бесконечная импульсная характеристика, то в большинстве случаев будет достаточнобилинейного метода.

Данный этап включает преобразование данной передаточной функции H(z) в подходящую фильтрующую структуру. Для отражения структуры фильтра часто используются блок-схемы или функциональные схемы, на которых для облегчения реализации цифрового фильтра показывается ход вычислений. Используемая структура зависит от выбора КИХ- или БИХ-фильтра.

Для БИХ-фильтров широко используются три структуры — прямая, каскадная и параллельная формы. Прямая форма — это непосредственное представление передаточной функции БИХ-фильтра. В каскадной форме передаточная функция БИХ-фильтра факторизуется и выражается как произведение звеньев второго порядка. В параллельной форме H(z) раскладывается (с использованием элементарных дробей) на сумму звеньев второго порядка. В качестве иллюстрации приведена блок-схема БИХ-фильтра четвертого порядка, представленного в прямой, каскадной и параллельной формах. На рисунке также указан соответствующий набор передаточных функций и разностных уравнений, описывающих структуру фильтра. При разработке БИХ-фильтров наиболее широко используются параллельная и каскадная структуры, поскольку они предоставляют более простые алгоритмы фильтрации и менее чувствительны к эффектам реализации с использованием конечного числа битов, чем фильтры с прямой структурой. Последние в подобных случаях весьма уязвимы, поэтомуих следует избегать любой ценой.

Для КИХ-фильтров, наоборот, наиболее используемой является прямая структура, посколькуее проще всего реализовать. В такой форме КИХ-фильтр иногда называется линией задержки с отводами (tapped delay line) или трансверсальным фильтром. Кроме того, еще используются две других структуры: структура частотной выборки и схема быстрой свертки. По сравнению с трансверсальной структурой, реализация по схеме частотной выборки может быть вычислительно более эффективной, посколькуона требует расчета меньшего числа коэффициентов. Однако ее бывает не так просто реализовать, и она может требовать больше памяти. При быстрой свертке используются вычислительные преимущества быстрого преобразования Фурье (БПФ), и она особенно привлекательна в ситуациях, когда дополнительно нужно вычислить спектр сигнала.

Характеристики фильтров приведены на рис. 2.5 Индексы h1,H1,y1{\displaystyle h1, \quad H1,\quad y1 \,\!} относятся к первому фильтру с полюсом за пределами единичной окружности, индексами h2,H2,y2{\displaystyle h2,\quad H2,\quad y2 \,\!} – внутри окружности (символика z−1{\displaystyle z^{-1}\,\!}). Импульсные отклики фильтров получены подачей на их входы импульса Кронекера, частотные характеристики вычислены по импульсным откликам. Значение r{\displaystyle r \,\!} первого фильтра подобрано по АЧХ под равный коэффициент усиления гармоники fp{\displaystyle f_p \,\!} со вторым фильтром, после чего коэффициенты фильтров нормированы по коэффициенту усиления к 1 на частоте fp{\displaystyle f_p \,\!}.

Как следует из рисунков, изменение многочлена по степеням z{\displaystyle z\,\!} на 1z{\displaystyle \frac{1}{z} \,\!} хотя и изменило коэффициенты разностного уравнения фильтра, но практически не повлияло на его амплитудно-частотную характеристику. Однако при этом произошло изменение области сходимости фильтра с соответствующим изменением фазовых углов направления на полюсы из всех точек единичной окружности, что отразилось на фазовочастотной характеристике и отсчетах импульсного отклика фильтра изменением фазы на π{\displaystyle \pi \,\!}.

Существует множество других практических структур цифровых фильтров, но большинство из них популярны только в определенных сферах. Пример — решетчатая структура, которая используется в сферах обработки речи и линейного предсказания. Решетчатая структура может использоваться для представления как КИХ-, так и БИХ-фильтров, и в стандартной форме она характеризуется единственным входом и парой выходов. Выведенная из нее решетчатая структура, описывающая N-точечный КИХ-фильтр, показана структура, предназначенная для БИХ-фильтра второго порядка со всеми заданными полюсами (т.е. такого, для которого указаны только коэффициенты знаменателя), представлена на рис. 6.8, в.

Подытожим. КИХ- и БИХ-фильтры обычно реализуются со следующими структурами:

1. трансверсальная (прямая структура) (КИХ);

2. частотная выборка (КИХ);

3. быстрая свертка (КИХ);

4. прямая форма (БИХ);

5. каскадная (БИХ);

6. параллельная (БИХ);

7. решетчатая (КИХ или БИХ).

Для данного фильтра выбор между структурами зависит от следующих факторов: 1) какая требуется характеристика (конечная или бесконечная); 2) простота реализации; 3) насколько структура чувствительна к эффектам конечной разрядности. Более подробно структуры реализации КИХ- и БИХ-фильтров.

Единственной целью большинства методов вычисления (или приближенного вычисления) коэффициентов КИХ-фильтров является получение значений h(n), при которых фильтр удовлетворяет спецификациям, в частности, относящимся к амплитудно частотной характеристике, и требованиям к пропускной способности. Разработано несколько методов получения h(n). Наиболее широко используемыми из них являются метод вырезания, оптимальный метод и метод частотной выборки. Все три метода позволяют получать КИХ-фильтры с линейной фазовой характеристикой.

Метод взвешивания.

В данном методе используется факт, что частотная характеристика фильтра H_D(ω) и соответствующая импульсная характеристика h_D(n) связаны обратным преобразованием Фурье:

Индекс D используется, чтобы различать идеальную и практическую импульсные характеристики. Необходимость такого разделения станет понятна несколько позже. Если H_D(ω) известна, h_D(n) можно получить, применив преобразование Фурье к обеим частям уравнения (2.9). Для иллюстрации предположим, что требуется разработать фильтр нижних частот. Начать можно с идеальной фазовой характеристики, представленной на рис. 2.11, а, где ω_c — частота среза, и шкала частот нормирована (T = 1).

Рисунок - 2.10. Иллюстрация определения коэффициентов фильтра h(n) с помощью метода взвешивания

В частотной области это эквивалентно свертке H_D(ω) с W(ω), где W(ω) — Фурье-образ w(n). Тогда как W(ω) имеет классический вид функции (sin x)/x, усечение h_D(n) приводит к появлению в частотной характеристике выбросов.

На практике идеальная частотная характеристика h_D множится на подходящую весовую функцию w(n) с конечной длительностью. Таким образом, получающаяся импульсная характеристика гладко затухает до нуля. Данный процесс иллюстрируется на рис. 2.8. На рис. 2.8, а показана идеальная частотная характеристика и соответствующая идеальная импульсная характеристика. На рис. 2.8, б показана весовая функция конечной длительности и ее спектр. На рис. 2.8, в показана функция h(n), которая получается перемножением h_D(n) и w(n). Из соответствующей частотной характеристики видно, что неравномерности и выбросы, характерные для прямого усечения, в значительной степени подавлены. В то же время, ширина полосы перехода больше, чем для прямоугольной функции. Известно, что ширина полосы перехода фильтра определяется шириной основного лепестка весовой функции. Боковые лепестки приводят к появлению неравномерности в полосах пропускания и подавления.

Оптимизационные методы

Метод вычисления оптимальных коэффициентов БИХ-фильтра является чрезвычайно мощным, и благодаря великолепным программам разработки его весьма просто применять. По этим причинам и еще потому, что данный метод дает великолепные фильтры, он широко используется во многих сферах, где требуются БИХ-фильтры. Ниже рассматриваются принципы, на основе которых построен метод, программа разработки и ее применение. Для иллюстрации метода разобрано несколько примеров.

Рисунок - 2.11. Сравнение частотных характеристик: а) фильтра, полученного методом вырезания, б) оптимального фильтра. На панели а колебания характеристики больше на границе полосы; а на панели б колебания имеют равные амплитуды (полосы равных колебаний) в полосе пропускания и подавления.

Разработчик обеспечивает данные базовые составляющие и гарантирует, что они соответствующим образом сконфигурированы под нужное приложение. Способ конфигурирования компонентов напрямую связан с тем, в каком времени будет проводиться обработка (в реальном или модельном (пакетная обработка)). При обработке в модельном времени все данные уже хранятся на каком-то запоминающем устройстве. Такая ситуация, например, характерна для приложений, где нужно получить некоторые экспериментальные данные, а затем их проанализировать. В таких случаях фильтр часто реализуется на языке высокого уровня и запускается на универсальном компьютере, где все основные составляющие уже сконфигурированы. Таким образом, обработку в модельном времени можно описать как исключительно программную реализацию (хотя разработчик может пожелать ввести в процесс дополнительные аппаратные средствадля увеличения скорости обработки).

При обработке в реальном времени от фильтра требуется либо 1) работать при наличии входной выборки x(n) и выдавать выходную выборку y(n) перед поступлением следующей входной выборки (т.е. в пределах межвыборочного интервала), либо 2) работать с входным блоком данных (используя, например, метод БПФ) для получения выходного блока в течение времени, пропорционального длине блока. Фильтрация в реальном времени может требовать быстрого и специфического аппаратного обеспечения, если частота дискретизации очень высока или если необходим фильтр высокого порядка. Для большинства приложений работы с аудиочастотами будет достаточно процессоров ЦОС, подобных DSP56000 (Motorola) или TMS320C25 (TexasInstruments), которые, кстати, допускают достаточную гибкость реализации. В данных процессорах уже вмонтированы все требуемые базовые блоки, включая аппаратные умножители. В некоторых приложениях привлекательную альтернативную реализацию можно получить на стандартных 8- или 16-битовых микропроцессорах, таких как процессоры семейств Motorola 6800 или 68000. Помимо блоков обработки сигналов разработчик может также, в зависимости от типа источника и получателя данных, вводить в фильтр подходящие интерфейсы ввода-вывода.

3 СИНТЕЗ И МОДЕЛИРОАНИЕ ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА В ПРОГРАММНОЙ СРЕДЕ MATLAB