2.2. Методы уменьшения систематических погрешностей
К наиболее распространенным методам уменьшения систематических погрешностей относятся: метод замещения, метод компенсации по знаку, метод рандомизации.
Метод замещения заключается в том, что измеряемая физическая величина замещается регулируемой мерой, так чтобы показания средства измерения не изменились, причем отсчет производится по указателю меры.
Метод компенсации погрешности по знаку заключается в выполнении двух измерений одной и той же физической величины такими способами, при которых меняется знак погрешности, тогда среднее значение результатов измерений даст окончательный результат.
Метод рандомизации (перемешивания) основан на выполнении измерений одной и той же физической величины однотипными приборами и/или со смещением во времени, что позволяет систематические погрешности перевести в разряд случайных и выявлять методами статистической обработки погрешностей измерений.
2.3. Аналитическое представление и оценка случайных погрешностей
Случайная погрешность измерений
описывается и оценивается с помощью
аппарата теории вероятностей и
математической статистики. Вероятностью
оценивается то, что погрешность результата
измерений
находится в некотором заданном интервале
распределения погрешностей между нижней
и верхней
границами. Записывается данная вероятность
как
.
Значение вероятности
показывает, какая часть измеренных
значений физической величины попадет
в заданный интервал
.
Значение вероятности
изменяется от нуля до единицы. Например,
показывает, что 90% измеренных значений
попадет в заданный интервал
.
Для определения значения вероятности
необходимо знать закон
распределения случайной погрешности
,
называемый плотностью распределения
вероятностей случайной погрешности
.
Тогда
. (2.7)
Не трудно предположить, что на интервале
. (2.8)
В практике измерений используются законы распределения; нормальный (Гаусса), треугольный, прямоугольный (Симпсона) и Стьюдента.
Нормальный закон распределения.
Нормальный закон распределения получил широкое применение в практической метрологии, что объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей (теоремой Ляпунова), согласно которой распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному во всех случаях, когда результаты наблюдений формируются под влиянием большого числа независимых факторов, каждый из которых оказывает незначительное действие по сравнению с суммарным действием остальных.
Нормальный закон распределения характеризуется свойствами:
- погрешность может принимать непрерывный
ряд значений от
до
;
- равные по абсолютному значению
погрешности
и
равновероятны;
- малые по абсолютному значению погрешности более вероятны, чем большие.
Нормальный закон распределения описывается выражением
, (2.9)
где
-
среднеквадратическое отклонение
погрешности
.
График нормального закона распределения представлен на рисунке 2.1.
Рисунок 2.1 – График нормального закона распределения плотности
вероятности случайных погрешностей
Из графиков следует, что центр распределения
находится в нуле, т.е. в точке нулевой
погрешности
.
По мере удаления от центра распределения
вероятность появления погрешности
уменьшается.
Чем больше
,
тем выше вероятность появления более
точных результатов измерений, о чем
говорит более высокий уровень максимума
при большем
.
В теории вероятностей часто используется понятие дисперсия D, характеризующая рассеяние погрешностей относительно центра распределения
. (2.10)
Дисперсия D связана с среднеквадратическим отклонением соотношением
.
(2.11)
Для определения вероятности при нормальном законе распределения случайной погрешности необходимо вычислить интеграл
. (2.12)
Для симметричного интервала распределения
погрешностей от
до
будем иметь
. (2.13)
Если в подинтегральном выражении
вероятности
заменить погрешность
на относительную
,
получим нормированный нормальный закон
распределения плотности вероятностей
.
(2.14)
График нормированного нормального
закона распределения соответствует
нормальному закону распределения,
приведенному на рисунке 2.1 при
.
На практике часто используют интеграл
вероятностей
,
который численно равен вероятности
при интегрировании нормированного
нормального закона распределения
плотности вероятностей в пределах от
нуля до z, где
. (2.15)
Значения интеграла вероятностей в зависимости от пределов интегрирования приведены в таблице 2.1. Пользуясь таблицей значений интеграла вероятностей можно выполнять вычисления интервала погрешности измерений по заданной вероятности или вероятности по заданным границам погрешности измерений.
Для оценки погрешности измерений
используют среднеквадратическое
отклонение
,
равновероятную (
)
погрешность
,
максимальную (
)
погрешность
.
Таблица 2.1 - Значения интеграла вероятностей
z |
|
z |
|
z |
|
0.00 |
0.000 |
0.80 |
0.576 |
1.80 |
0.928 |
0.20 |
0.159 |
1.00 |
0.683 |
2.00 |
0.955 |
0.40 |
0.311 |
1.20 |
0.770 |
2.33 |
0.980 |
0.50 |
0.383 |
1.40 |
0.839 |
2.58 |
0.990 |
0.60 |
0.452 |
1.60 |
0.89 |
3.00 |
0.997 |
Пользуясь таблицей значений интеграла вероятностей можно выполнять вычисления интервала погрешности измерений по заданной вероятности или вероятности по заданным границам погрешности измерений.
Нормальный закон распределения применяют для обработки результатов измерений при числе повторных измерений больше 20.
Равномерный закон распределения.
При равномерном законе распределения
плотность вероятности
принимает постоянные значения в диапазоне
погрешностей от
до
.
За пределами этого диапазона плотность
вероятности
.
Равномерный закон отражает распределение
плотность вероятности случайной
погрешности при измерениях физических
величин методом дискретного счета. При
использовании аналого-цифровых
преобразователей погрешность определяется
величиной дискреты и равновероятна при
изменений измеряемой величины в пределах
дискреты.
Треугольный закон распределения (закон Симпсона).
Характеризует распределение плотности вероятности погрешности измерения цифровыми приборами, в которых измеряемая величина преобразуется в пропорциональный интервал времени, заполняемый импульсами стабильного генератора. Треугольный вид закона распределения обусловлен наложением двух равномерных законов распределения: случайным положением импульсов относительно временного интервала и случайным соотношением между периодом следования импульсов и длительностью временного интервала.
Закон распределения Стьюдента.
Закон назван псевдонимом В.С. Госсета. Закон применяется при обработке небольшого числа (от 2 до 20) многократных измерений, погрешности которых подчинены нормальному закону распределения.
Закон распределения Стьюдента описывает
распределение плотности вероятности
значений случайной величины
как функцию относительного аргумента
, (2.16)
где
-
число повторных измерений.
Распределение Стьюднта приближается к нормированному нормальному распределению с увеличением числа повторных измерений.
Для определения вероятности
при законе распределения Стьюдента
необходимо вычислить интеграл
. (2.17)
Предел интегрирования
называется коэффициентом Стьюдента.
При расчете коэффициента Стьюдента
задаются доверительной вероятностью
и числом повторных наблюдений n,
поэтому коэффициент Стьюдента обозначают
или просто t. Значения
коэффициентов Стьюдента приведены в
таблице 2.2
Таблица 2.2 – Значения коэффициентов Стьюдента
n-1 |
|
||||
0.90 |
0.95 |
0.98 |
0.99 |
0.999 |
|
1 |
6.31 |
12.7 |
31.8 |
63.7 |
636. |
2 |
2.92 |
4.30 |
6.96 |
9.92 |
31.6 |
3 |
2.35 |
3.18 |
4.54 |
5.84 |
12.9 |
4 |
2.13 |
2.78 |
3.75 |
4.60 |
8.61 |
5 |
2.02 |
2.57 |
3.36 |
4.03 |
6.87 |
6 |
1.94 |
2.45 |
3.14 |
3.71 |
5.96 |
7 |
1.90 |
2.36 |
3.00 |
3.50 |
5.41 |
8 |
1.86 |
2.31 |
2.90 |
3.36 |
5.04 |
9 |
1.83 |
2.26 |
2.82 |
3.25 |
4.78 |
10 |
1.81 |
2.23 |
2.76 |
3.17 |
4.59 |
12 |
1.78 |
2.18 |
2.68 |
3.05 |
4.32 |
14 |
1.76 |
2.14 |
2.62 |
2.99 |
4.14 |
16 |
1.74 |
2.12 |
2.58 |
2.95 |
4.02 |
18 |
1.73 |
2.10 |
2.55 |
2.88 |
3.92 |
20 |
1.72 |
2.09 |
2.53 |
2.85 |
3.85 |
На основе распределения Стьюдента разработан критерий отбора ошибочных результатов измерений. Согласно критерия Стьюдента считаются ошибочными измерения, удовлетворяющие условию
,
(2.18)
где
погрешность i – го
измерения; t – коэффициент
Стьюдента при заданной вероятности P
и числе повторных измерений n.
Критерий Стьюдента отсеивает с надежностью
P такие результаты
измерений, которые не попадают в
доверительный интервал
,
при этом надежность P
определяется вероятностью P
получения точного результата и зависит
от погрешности измерительного прибора.