2.4. Обработка результатов прямых измерений

Целью обработки результатов прямых измерений является определение среднего арифметического значения измеряемой физической величины как наиболее близкого к истинному значению, отклонение среднего арифметического от истинного значения с вероятностью , а также выявление конкретного вида закона распределения плотности вероятностей случайной погрешности .

Для определения среднего арифметического значения измеряемой физической величины необходимо выполнить равноточных измерений физической величины

. (2.19)

Среднее арифметическое значение фактически является оценкой измеряемой физической величины . Затем вычисляется абсолютная погрешность каждого из измерений.

. (2.20)

Далее по известной в теории вероятностей формуле находится оценка среднеквадратического отклонения измерений, характеризующая точность метода измерений

. (2.21)

Т.к. среднее арифметическое само обладает случайной погрешностью, то вводится понятие оценки среднеквадратического отклонения среднего арифметического

. (2.22)

Видно, что с увеличением числа измерений одной и той же физической величины точность оценки среднего арифметического увеличивается.

Оценка среднеквадратического отклонения среднего арифметического указывает на границы интервала, в котором может находиться истинное значение физической величины. В зависимости от класса точности измерительного прибора определяется доверительная вероятность . Затем в зависимости от числа n измерений физической величины задается значение интеграла вероятностей (при ) или вероятность в законе распределения Стьюдента (при ). По таблицам 2.1 или 2.2, определяется или , а затем вычисляется доверительный интервал отклонения от истинной оценки среднего арифметического значения измеряемой величины или с вероятностью .

Таким образом, истинное значение измеряемой физической величины находится между нижней и верхней границами

(2.23)

Результат измерений записывается в виде

с вероятностью . (2.24)

Обработка результатов прямых измерений ставит своей целью выявление конкретного вида закона распределения плотности вероятностей случайной погрешности. Для этого производятся многократные измерения одной и той же физической величины . Полученные значения , где , содержат погрешности . Полученный массив погрешностей используется для построения экспериментальной зависимости . Для ее построения весь диапазон значений погрешности от до делится на одинаковые интервалы, число которых N находится по правилу Старджесса

. (2.25)

Ширина каждого интервала вычисляется в соответствии с выражением

. (2.26)

Затем находится число значений , где , случайной погрешности , приходящихся на каждый j – й интервал, причем

. (2.27)

Вероятность попадания погрешности в j – й интервал определяется как доля значений в общем числе значений

. (2.28)

Распределение плотности вероятностей случайной погрешности в пределах каждого - го интервала постоянна и равна

. (2.29)

Строится гистограмма – ступенчатая характеристика с уровнями на каждом интервале d, отвечающая условию

. (2.30)

Пример гистограммы приведен на рисунке 2.2

Рисунок 2.2 – Гистограмма

На основе гистограммы строится практическая зависимость распределения плотности вероятностей , которая называется полигоном. Для ее построения соединяют отрезками прямых середины верхних сторон всех прямоугольников гистограммы.

Теоретическая зависимость , наилучшим образом описывающая практическую зависимость распределения плотности вероятностей ищется подбором некоторой аналитической функции , где - постоянные коэффициенты, определяемые в соответствии с методом моментов. Суть метода моментов заключается в том, чтобы основные характеристики теоретического и практического законов распределения плотности вероятностей совпадали. Вместе с тем теоретическая зависимость должна удовлетворять основным свойствам законов распределения

(2.31)

Если в качестве теоретической зависимости выбран нормальный закон распределения плотности вероятностей, то центр распределения должен быть равен и среднеквадратическое отклонение погрешности должно быть равно оценке среднеквадратического отклонения измерений. Таким образом, выражение для теоретического закона распределения плотности вероятностей примет вид

. (2.32)

Однако теоретический закон распределения от практического может существенно отличаться. Для оценки степени соответствия этих законов применяют критерий согласия Пирсона (χ² - «хи-квадрат»). С этой целью вычисляют

, (2.33)

где - вероятность попадания погрешности в -й интервал в теоретическом законе распределения.

Вероятность можно вычислить по формуле

(2.34)

где - границы -го интервала, или приближенно по формуле

, (2.35)

где - значение теоретического закона распределения, вычисляемое по формуле (2.32), в точке , причем

. (2.36)

Чем меньше χ² , тем ближе теоретический закон распределения к практическому. Граничные значения , по которым можно судить о соответствии теоретического закона распределения практическому, приведены в таблице 2.3.

Граничное значение как функцию параметров и выбирают из приведенной таблицы 2.3, где - число степеней свободы, определяемое из выражения ; - количество числовых параметров теоретического закона, оцененных по результатам измерений; - уровень значимости, численно равный вероятности признания практического закона распределения не соответствующего теоретическому.

Таблица 2.3 – Таблица критических значений

	0.01	0.05	0.10	0.50
2	0.020	0.103	0.211	1.386
3	0.115	0.352	0.584	2.366
4	0.297	0.711	1.064	3.357
5	0.554	1.145	1.610	4.351
6	0.872	1.635	2.204	5.348
7	1.239	2.167	2.833	6.346

Для нормального закона распределения принимают: ; - минимальное. Расчетное значение χ² сравнивают с граничным . Если выполняется условие

, (2.37)

то гипотезу о соответствии практического закона распределения теоретическому принимают за истину. В противном случае считают гипотезу не соответствующей действительности и строят новую, которая также проверяется.