3.2. Метод группировок
Этот метод является наиболее простым. Для применения этого метода необходимо знать хотя бы одну точку прямой, так как определяется только угловой коэффициент. Построение прямой производится очень быстро.
Если задан ряд экспериментальных точек с координатами Х и Y, то угловой коэффициент прямой, принадлежащей этим точкам, можно вычислить по формуле
где Х и Y – координаты m точек, сгруппированных в одной части графика, а Х’ и Y’ – координаты m точек, сгруппированных в другой части графика.
Если интервалы между значениями Х примерно одинаковы, то имеющиеся данные необходимо разделить на три примерно равные группы и использовать группу точек с координатами Х и Y, находящихся в верхней части графика, и группу точек с координатами Х’ и Y’, находящихся в нижней части графика, исключив среднюю группу точек. В этом случае нарушается общее практическое правило статистического анализа: «Статистический критерий оказывается наиболее эффективным при использовании всех данных».
Например, имеем 8 пар измерений, n = 8:
Y : 9,0; 11,0; 9,0; 9,5; 6,5; 7,0; 4,5; 5,0.
Х : 12,5; 11,0; 10,0; 8,5; 7,0; 5,0; 4,0; 1,5.
13
Эти исходные данные и результаты статистической обработки сводим в таблицу 2. В таблице 2 приведены результаты статистической обработки этих данных и другими методами.
Для контрольной работы надо приготовить таблицу для 10 точек.
Наносим точки на график – рис.1. Делим массив данных на три примерно равные группы: выделяем по три точки в верхней и нижней части графика (первые три и последние три пары значений), две точки в средней части не используем.
Рис. 1. Линии регрессии по методу группировок (1) и методу средних (2)
14
3. Проверяем правильность вычислений
2072 – 1212/8 = 99,22 + 36,97 + 2×52,84; 241,87 = 241,87.
b1 (ух) = Qху / Qх = 52,84/99,22 = 0,53;
b0 (ух) = - b1 (ух) = 7,69 – 0,53×7,44 = 3,73
= 1,008/0,122 =
;
8,2 = 8,2.
4. Проверяем статистическую значимость коэффициентов регрессии по критерию Стъюдента
=
=
3,73 > 2,447,
=
=
4,34 > 2,447.
Если расчетные
значения
больше
табличных
,
то коэффициенты регрессии статистически
значимы. Если расчетное значение меньше
табличного, коэффициент исключается
из формулы. Табличное значение критерия
определяем из табл. 1 Приложения при
заданном уровне значимости (5%) и числе
степеней свободы f=n-2.
Для нашего случая расчетные значения обоих коэффициентов регрессии больше табличных значений – коэффициенты регрессии статистически значимы.
5. Записываем уравнение прямой регрессии с учетом статистической значимости коэффициентов.
Ур = b0 (ух)+ b1 (ух)X = 3,73 + 0,53 Х.
23
3.4.1. Прямая регрессия
1. Вычисляем коэффициенты уравнения линии прямой регрессии:
=
=
=
=
2. Определяем промежуточные величины для проверки значимости коэффициентов регрессии и оценки адекватности уравнения:
=
541,75 –
(59,52/8)
= 99,22;
= 509,75 –
(61,52/8)
= 36,97;
= 510,25 – (59,5х61,5)/8 = 52,84;
= 36,97 – 0,53х52,84 = 8,96;
=
=
1,22;
=
= 1,22 /
= 0,122.
22
1. Определяем угловой коэффициент уравнения прямой регрессии
b1(yх)
=
=
[(9,0+11,0+9,0) – (7,0+4,5+5,0)] / [(12,5+11,0+10,0) –
(5,0+4,0+1,5)] = (29,0-16,5)/(33,5-10,5) = 12,5/23 = 0,543.
Прямая
должна проходить по опорной точке,
расположенной в центре массива данных
и имеющей координаты: Х ср
=
/n
= 59,5/8 = 7,44 и Yср
=
/n
= 61,5/8 = 7,69.
В уравнение прямой У = b0(yх) + b1(yх) Х подставляем рассчитанные значения Х ср и Yср, получим 7,69 = b0(yх) + 0,54х 7,44.
2. Определяем свободный член уравнения прямой регрессии
b0(yх) = Yср - b1(yх) Х ср = 7,69 - 0,54х 7,44 = 3,67.
Получили искомое уравнение прямой регрессии
Ур = b0(yх) + b1(yх) Х = 3,67 + 0,54 Х.
3. Определяем расчетные значения YP, абсолютные отклонения экспериментальных значений от расчетных ΔY, а также квадраты этих отклонений ΔY² и сводим их в таблицу 2:
У1 р= 3,67 + 0,54 х1 = 3,67 + 0,54 х 1,5 = 4,48.
Y1 = У1 эк - У1 р =5,0 – 4,48 = 0,52; Y²1 = 0,2704.
У2 р= 3,67 + 0,54 Х2 = 3,65 + 0,54 х 4,0 = 5,83.
Y2 = 4,5 – 5,83 = - 1,33; Y²2 = 1,7689 и т.д.
При методе группировок линия прямой регрессии совпадает с линией обратной регрессии. Уравнение обратной регрессии для той же линии
Хр = b0(xy) + b1(xy) У
15
4. Определяем угловой коэффициент уравнения обратной регрессии
b1(ху) = 23,0/12,5 = 1,84 или b1(ху) = 1,0/ b1(ух) =1,0/0,543=1,84.
5. Определяем свободный член уравнения прямой регрессии
b0 (ху) = Х ср - b1 (ху) уср = 7,44 – 1,84 х 7,69 = - 6,71.
6. Определяем расчетные значения Хр, абсолютные отклонения экспериментальных значений от расчетных ΔX, а также квадраты этих отклонений ΔX² и сводим их в таблицу 2:
Хр = b0 (ху) + b1 (ху) у = - 6,71 + 1,84 У.
Х1р = b0 (ху) + b1 (ху) у1 = - 6,71 + 1,84 х 5,0 = 2,49.
X1 = 1,5 – 2,49 = - 0,99; X12 = 0,9801.
Х2р = b0 (ху) + b1 (ху) у2 = - 6,71 + 1,84 х 4,5 = 1,57.
X2 = 4,0 – 1,57 = 2,43; X22 = 5,9049 и т.д.
7. Наносим линию на рис.1 и обозначаем коэффициенты уравнений регрессии.
Таблица 2
Исходные данные и результаты статистической обработки
этих данных различными методами
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ |
|||||||||
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
x |
1,5 |
4,0 |
5,0 |
7,0 |
8,5 |
10,0 |
11,0 |
12,5 |
59,5 |
y |
5,0 |
4,5 |
7,0 |
6,5 |
9,5 |
9,0 |
11,0 |
9,0 |
61,5 |
МЕТОД ГРУППИРОВОК:
|
|||||||||
yp |
4,48 |
5,83 |
6,37 |
7,45 |
8,26 |
9,07 |
9,61 |
10,42 |
|
Δy |
0,52 |
-1,33 |
0,63 |
-0,95 |
1,24 |
-0,07 |
1,39 |
-1,42 |
~0,0 |
Δy² |
0,2704 |
1,7689 |
0,3969 |
0,9025 |
1,5376 |
0,0049 |
1,9321 |
2,0164 |
8,83 |
xp |
2,49 |
1,57 |
6,17 |
5,25 |
10,77 |
9,85 |
13,53 |
9,85 |
|
Δx |
-0,99 |
2,43 |
-1,17 |
1,75 |
-2,27 |
0,15 |
-2,53 |
2,65 |
~0,0 |
Δx² |
0,9801 |
5,9049 |
1,3689 |
3,0625 |
5,1529 |
0,0225 |
6,4009 |
7,0225 |
29,92 |
16