§ 43. Основное уравнение молекулярно- кинетической теории идеальных газов

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает параметры состояния газа с характеристиками движения его молекул, т. е. устанавливает зависимость между давлением и объемом газа и кинетической энергией поступательного движения его молекул. Для вывода уравнения рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку AS (рис. 64) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молекула массой m₀ передает стенке сосуда импульс

,

где v - скорость молекул газа. За время ∆t площадки ∆S достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием ∆S и высотой v∆t (рис. 64). Число этих молекул равно n∆Sv∆t (n- число молекул в единице объема). Необходимо, однако, учитывать, что реально молекулы движутся к площадке ∆S под разными углами и имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется молекул, причем половина молекул (1/6) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина - в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку ∆S будет 1/6n∆Sv∆t. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс

.

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,

. (43.1)

Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями

то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость

(43.2)

характеризующую всю совокупность молекул газа.

Уравнение (43.1) с учетом (43.2) примет вид

Учитывая, что n = N/V, получим

, (43.3)

или

(43.4)

где Е - суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул

газа. Выражение (43.4) или эквивалентное ему (43.3) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям дает ту же формулу. Так как масса газа m = Nm₀, то уравнение (43.3) можно переписать в виде

.

Для одного моля газа m = М (М - молярная масса), поэтому

,

где V_m - молярный объем. С другой стороны, по уравнению Клапейрона - Менделеева, pV_m = RT. Таким образом

,

откуда

.(43.5)

Так как М =m₀N_A, где m₀ - масса одной молекулы, a N_A - постоянная Авогадро, то из уравнения (43.5) следует, что

, (43.6)

где k = R/N_A - постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с, водорода -1900 м/с. При температуре жидкого гелия те же скорости будут соответственно 40 и 160 м/с. Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа (используем формулы (43.4) и (43.6))

(43.7)

пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее.

Из этого уравнения следует, что при , т..е. при 0 К прекращается поступательное движение молекул газа, а следовательно, его давление равно нулю.

Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа и формула (43.7) раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры. Так как для данной массы- газа N = const и при Т = const скорости молекул одинаковы, то из выражения (43.4) ( следует, что для данной массы газа и постоянной температуры

pV = const.

т. е. получили закон Бойля - Мариотта (41.1), доказав тем самым справедливость основного уравнения молекулярно- кинетической теории идеальных газов.