§ 44. Закон Максвелла для распределения молекул

идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории молекулам задавали различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по ^ модулю и направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения являются равновероятными, т. е. в любом направлении в среднем движется одинаковое число молекул. По молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой то в газе, находящемся в состоянии равновесия при Т == const, остается постоянной и равной <у,д> = ]/3kT/mo. Это объясняется тем, что в газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется вполне определенному статистическому закону. Этот закон теоретически выведен Дж. Максвеллом. При выводе закона распределения молекул по скоростям Максвелл предполагал, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Предполагалось также, что силовые поля, действующие на газ, отсутствуют. Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(v), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные dv, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v), имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция f{v) определяет относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v + dv, т.е.

,

откуда

Применяя методы теории вероятности, Максвелл нашел функцию f(v) - закон для распределения молекул идеального газа по скоростям:

(44.1)

Из (44.1) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (от температуры Т). График функции распределения приведен на рис. 65. Относительное число молекул dN (v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v + dv, находится как площадь заштрихованной на рис. 65 полоски. Из приведенного графика следует, что функция распределения стремится к нулю при v→0 и v→ ∞и проходит через максимум при некоторой скорости v_в, называемой наиболее вероятной скоростью, причем этой скоростью и близкой к ней обладает наибольшее число молекул. Кривая несимметрична относительно Vy Значение наиболее вероятной скорости можно найти, продифференцировав выражение (44.1) по аргументу v и приравняв результат нулю, используя условие для максимума выражения

,

или

(44.2)

Из формулы (44.2) следует, что при повышении температуры максимум функции распределения молекул по скоростям (рис. 66) сместится вправо (значение наиболее вероятной скорости становится больше). Однако площадь, ограниченная кривой, остается неизменной, так как общее число молекул газа не зависит от температуры. Поэтому при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться. В молекулярно-кинетической теории пользуются понятием средней арифметической скорости <v> поступательного движения молекул идеального газа, вычисляемой из закона распределения (44.1):

. (44.3)

Скорости, характеризующие состояние газа: 1) наиболее вероятная , 2) средняя арифметическая 3)средняя квадратичная представлены на рис. 65. Распределение молекул идеального газа по энергиям определяет долю из общего числа N молекул, которые имеют кинетические энергии , заключенные в интервале от ε до ε+dε:

, (44.4)

где f(ε)- функция распределения молекул по энергиям.

Определим в качестве примера среднюю кинетическую энергию молекулы идеального газа:

(ср. с (43.7)).