2. Степенные средние величины.

Введем следующие понятия и обозначения:

• признак, по которому находится средняя, называется осредняемым признаком и обозначается ;

• величина осредняемого признака у каждой единицы, совокупности называется индивидуальным его значением, или вариантой, и обозначается как х₁, х₂, …, х_n.

• частота – повторяемость индивидуальных значений признака, обозначается буквой f.

2.1 Средняя арифметическая. Понятие средней арифметической: простая и взвешенная

Средняя арифметическая – наиболее распространенный вид средней. Она исчисляется в тех случаях, когда объем осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

Например, общий фонд заработной платы – это сумма заработных плат, выплаченных отдельным рабочим; общий сбор урожая – это сумма урожаев с каждого гектара площади.

Пример 1. Пусть требуется вычислить средний возраст студентов в группе из 20 человек:

№ п/п	Возраст (лет)	№ п/п	Возраст	№ п/п	Возраст	№ п/п	Возраст
1	18	6	20	11	22	16	21
2	18	7	19	12	19	17	19
3	19	8	19	13	19	18	19
4	20	9	19	14	20	19	19
5	19	10	20	15	20	20	19

лет

Такая средняя арифметическая называется средняя простая. Часто приходится рассчитывать среднее значение признака по ряду распределения, когда одно и то же значение признака встречается несколько раз. Объединив данные по величине признака (т.е. сгруппировав) и подсчитав число случаев повторения каждого из них, мы получим следующий ряд распределения:

Возраст, лет	18	19	20	21	22	Всего
Число студентов	2	11	5	1	1	20

Тогда средняя равна:

лет

Такая средняя называется средняя арифметическая взвешенная.

Следовательно, для исчисления средней взвешенной выполняются следующие последовательные операции: умножение каждого варианта на его частоту, суммирование полученных произведений, деление полученной суммы на сумму частот.

Обычно среднюю арифметическую исчисляют по формуле взвешенной средней. Простую среднюю используют только в тех случаях, когда у каждой варианты частота равна единице. Отказываться от взвешивания при исчислении средней можно и в том случае, если частоты у всех вариант равны.

Средняя арифметическая в интервальном ряду.

Часто вычисление средних величин приходится производить и по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов распределения, когда варианты признака, из которых исчисляется средняя, представлены в виде интервалов.

Пример 2. Распределение хозяйств области по урожайности зерновых культур.

Группы хозяйств по урожайности, (ц/га)	Число хозяйств, fi	Середина интервала, xi	Xi * fi	Xi – A (пусть А=12,5)	(xi – A) * fi
10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55	6 9 20 41 26 21 14 5 1	12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5	75 157,5 450,0 1127,5 845,0 787,5 595,0 237,5 52,5	0 5 10 15 20 25 30 35 40	0 45 200 615 520 525 420 175 40
ИТОГО:	143	-	4327,5	-	2540

Для вычисления средней величины середину каждого интервала мы принимаем за среднее значение признака в этом интервале обозначаем его за . Среднюю величину вычисляем по обычной формуле. Таким образом, в рассматриваемом примере:

ц/га

Такой прием начисления средней основан на предположении, что отдельные конкретные варианты равномерно распределены внутри интервала. Однако в действительности распределение отдельных вариантов в пределах интервала может оказаться неравномерным. Это может повлиять на правильность общей средней, исчисленной по данным интервального ряда.