2.2 Другие виды степенных средних.

При расчете статистических показателей помимо средней ариф­метической могут использоваться и другие виды средних. Однако в каждом конкретном случае, в зависимости от характера имеющих­ся данных, существует только одно истинное среднее значение по­казателя, являющееся следствием реализации его исходного соот­ношения.

Средняя квадратическая величина

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной ( ). Ее формула такова:

Средняя квадратическая:

Например, имеются три участка земельной площади со сторо­нами квадрата: х₁= 100м; х₂= 200м; х₃= 300м.

Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, мы, очевидно, должны исхо­дить из сохранения общей площади всех участков.

Арифметическая средняя величина (100+200+300) : 3 = 200 м не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех участков со стороной 200м была бы равна: 3 (200м)² = 120 000 м².

В то же время площадь исходных трех участков равна: (100м)² + (200м)² + (300м)² = 140 000 м².

Правильный ответ дает квад­ратическая средняя:

м².

В следующей теме будет показано, что главной сферой применения квадратической средней в силу пятого свойства средней арифметической величины является измерение вариация признака в совокупности.

Рассчитаем среднюю арифметическую:

м.

Рассчитаем общую площадь заменяя индивидуальные значения признака на среднюю арифметическую:

м².

Однако, (120 000 м² ≠140 000 м²). Следовательно, в данном случае не подходит.

Рассчитаем среднюю квадратическую:

м².

Рассчитаем общую площадь заменяя индивидуальные значения признака на среднюю квадратическую:

м².

Т.е. (139 968 м²≠140 000м²).

Следовательно, в данном случае в данном случае подходит больше.

Средняя кубическая величина

Аналогично, если по условиям задачи необходимо сохранить неизменной сумму кубов индивидуальных значений признака при их замене на среднюю величину, мы приходим к средней кубической, имеющей вид:

Средняя кубическая:

Средняя геометрическая величина

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произве­дение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину. Ее формула такова:

Средняя геометрическая:

1. Основное применение геометрическая средняя находит при определении средних темпов роста, о чем будет сказано в теме «Ряды динамики».

Пусть, например, в результате инфляции за первый год цена товара возросла в 2 раза к предыдущему году, а за второй год еще в 3 раза к уровню предыдущего года. Ясно, что за два года цена выросла в 6 раз. Каков средний темп роста цены за год?

Арифме­тическая средняя здесь непригодна, ибо если за год цены возросли бы в раза, то за два года цена возросла бы в 2,5 х 2,5 = 6,25 раза, а не в 6 раз. Геометрическая средняя дает правильный ответ: = 2,45 раза.

2. Геометрическая средняя величина дает наиболее правильный по содержанию результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равно удален как от максимального, так и от минимального значения признака.

Например, если максимальный размер выиг­рыша в лотерее составляет миллион рублей, а минимальный — сто рублей, то какую величину выигрыша можно считать средней между миллионом и сотней?

Арифметическая средняя явно непригодна, она составляет 500 050 руб., а это, как и миллион, крупный, а никак не средний выигрыш; он качественно одноро­ден с максимальным и резко отличен от минимального.

Не дают верного ответа ни квадратическая средняя (707 107 руб.), ни кубическая (793 699 руб.), ни рассматриваемая далее гармоничес­кая средняя (199,98 руб.), слишком близкая к минимальному значению.

Только геометрическая средняя дает верный с точки прения экономики и логики ответ: Десять тысяч — не миллион, и не сотня! Это, действительно, нечто среднее между ними.