1. Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).

Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.

Найти точки пересечения с осями координат.

Установить, является ли функция чётной или нечётной.

Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).

Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

Найти наклонные асимптоты функции.

Построить график функции.

2.Тетрадь

Билет 18

1. Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

Простейший пример: ах=b, где а>0, а≠1 .

Область значений показательной функции – множество положительных чисел.

Поэтому при b<0 , b=0 уравнение ах=b не имеет решений.

На промежутке функция возрастает при а>1и убывает при 0<а<1, принимая все положительные значения. Поэтому по теореме о корне при b>0,а>0, а≠1 уравнение ах=b имеет единственный корень х= logab

Решение показательного уравнения вида аf(x)=ag(x) , где а>0, а≠1 основано на том, что это уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x).

При решении показательных уравнений полезна бывает замена переменной, чтобы свести к алгебраическому уравнению.

2. Пусть криволинейная трапеция, то есть фигура, ограниченная осью Ox, прямыми x = a, x = b и графиком непрерывной возрастающей неотрицательной функции y = f (x), вращается вокруг оси Ox (рис. 7.2.1), вследствие чего образуется тело вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, есть круг или точка. На промежутке (a; b) выберем точку x. Сечение, проведенное через эту точку перпендикулярно оси Ox, есть круг площадью S (x) = πf 2 (x). Объем части тела вращения, ограниченной сечениями, проведенными через точки a и x, обозначим через V (x), а объем данного тела вращения – через V.

Билет 19

1. Определение. Степенью числа a>0 с рациональным показателем , где m - целое число, а n - натуральное ( n>1), называется число , т.е .

Свойства степени с рациональным показателем.

2.сам

Билет 20

1.сам

2.сам

Билет 21

1. Тангенс - отношение синуса к косинусу (т.е. tg = sin/cos) или отношение противолежащего катета к прилежащему

Котангенс - отношение косинуса к синусу (т.е. ctg = cos/sin) или отношение прилежащего катета к противолежащему.

2.сам

Билет 22

1.Тетрадь

2. Говорят, что функция , определенная на промежутке Х, достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка а, принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех х из Х выполняется неравенство .

Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Наибольшее значение М и наименьшее значение m непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке :

найти ;

найти точки, в которых или не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка ;

вычислить значения функции в точках, полученных в п.2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке , которые можно обозначить так: .

Если поставлена задача найти для непрерывной на функции , то она решается по тому же правилу, что соответствующая задача для отрезка .

Отличие: на третьем этапе вместо вычисления значений функции на концах отрезка находят пределы функции при приближении к концам интервала.

Иногда для отыскания наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на промежутке полезны два утверждения:

если функция имеет в промежутке Х только одну точку экстремума , причем это точка максимума, то - наибольшее значение функции на промежутке Х;

если функция имеет в промежутке Х только одну точку экстремума , причем это точка минимума, то - наименьшее значение функции на промежуткеХ.

Билет 23

1. Логарифм положительного числа по основанию (обозначается ) — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить . b > 0, a > 0, а≠ 1.

2.тетрадь

Билет 24

1.нету

2. Рассмотрим этот способ на примере определения угла между пересекающимися прямыми. Рассмотрим две проекции пересекающихся прямых а и в которые пересекаются в точке К. Для то чтобы определить натуральную величину угла между этими прямыми необходимо произвести преобразование ортогональных проекций так, чтобы прямые стали параллельны плоскости проекций. Воспользуемся способом вращения вокруг линии уровня - горизонтали. Проведем произвольно фронтальную проекцию горизонтали h2 параллельно оси Ох, которая пересекает прямые в точках А2 и В2 . Определив проекции А1 и В1, построим горизонтальную проекцию горизонтали h1 . Траектория движения всех точек при вращении вокруг горизонтали - окружность, которая проецируется на плоскость П1 в виде прямой линии перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали.

Билет 25

1.сам

2.сам

Билет 26

1.сам

2.тетрадь

Билет 27

1.сам

2. Доказательство. Рассмотрим какие-нибудь две диагонали параллелепипеда, например А1А3' и А4А'2 (рис. 414). Так как четырехугольники А1А2А3А4 и А2А'2А'3А3 — параллелограммы с общей стороной А2А3, то их стороны А1А4 и A'2A'3 параллельны друг другу, а значит, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскости противолежащих граней параллелепипеда по параллельным прямым А1А'2 и А 4А' 3. Следовательно, четырехугольник

А4А 1A'2A'3 — параллелограмм. Диагонали параллелепипеда А1А3' и А4А'2 являются диагоналями этого параллелограмма. Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам.

Аналогично доказывается, что диагонали А1А3' и А2А4' , а также диагонали А1А3' и А3А1' пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.

Из теоремы 19.3 следует, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

Билет 28

1. Функция вида y = loga х (где а > 0, а ≠ 1) называется логарифмической.