Дискретные сигналы и системы.

Сигнал может быть определен как функция, переносящая информацию о состоянии или поведении физической системы. Математически сигналы представляются в виде функции одной или более независимых переменных. Независимая переменная в математическом представлении сигнала может быть как непрерывной, так и дискретной. Сигналы в непрерывном времени определяются на континууме моментов времени и, следовательно, представляются как функции от непрерывной переменной. Дискретные сигналы определяются в дискретные моменты времени и представляются последовательностями чисел.

Сигналы в непрерывном времени и с непрерывным диапазоном амплитуд называются аналоговыми.

Цифровые сигналы – сигналы, у которых дискретны и время, и амплитуда.

Если сигнал обладает дискретным аргументом, но непрерывными значениями, то такой сигнал называется дискретным. Дискретный сигнал формально может быть представлен в виде последовательности

(1.9)

Некоторые примеры последовательностей играют важную роль при дискретной обработке сигналов.

Единичный импульс:

(1.10)

Ступенчатая последовательность:

(1.11)

Нетрудно заметить, что

(1.12)

и

(1.13)

Линейные стационарные системы

В теории цифровой обработки сигналов (ЦОС) система определяется как однозначное преобразование или оператор, отображающий входную последовательность в выходную , что математически записывается в виде

.

(1.14)

Классы дискретных систем определяются путем наложения ограничений на преобразование T. Класс линейных систем определяется принципом суперпозиции. Если и - отклики на и соответственно, то система линейна тогда и только тогда, когда

(1.15)

Пусть - отклик системы на единичный импульс в момент . Тогда для линейной системы можно записать

(1.16)

Класс стационарных систем характеризуется следующим свойством: если - отклик на , то будет откликом на , где - положительное или отрицательное целое число. Для стационарной системы можем записать

.

(1.17)

Значит, любая линейная стационарная система полностью характеризуется импульсной характеристикой . Выражение (1.17) обычно называют сверткой. Заменой переменной в (1.17) получим другое выражение

(1.18)

Поэтому порядок, в котором две последовательности входят в свертку, не важен. Другими словами, линейная стационарная система с входом и импульсной характеристикой будет иметь тот же выход, что и линейная стационарная система с входом и импульсной характеристикой .

Устойчивость и физическая реализуемость

Устойчивой системой назовем систему, в которой каждый ограниченный входной сигнал создает ограниченный выходной сигнал. Линейная стационарная система устойчива тогда и только тогда, когда

(1.19)

Физически реализуемая система – это система, у которой изменения на выходе не опережают изменения на входе, т.е. в физически реализуемой системе, если , , то , . Линейная стационарная система физически реализуема тогда и только тогда, когда ее импульсная характеристика равна 0 при n<0.