Дискретное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье есть частный вид преобразования Фурье, когда последовательность имеет конечную длительность.
Рассмотрим
сначала ряды Фурье периодических
последовательностей. Пусть
.
Такие последовательности не могут быть
представлены z-преобразованием,
так как не существует ни одного значения
z, для которого бы сходилось
z-преобразование такой
последовательности. Однако можно
представить
рядом Фурье, т.е. суммой комплексных
экспонент с частотами, кратными основной
частоте
периодической последовательности. В
противоположность рядам Фурье непрерывных
периодических функций имеется только
N различных комплексных
экспонент с периодом, равным целой
части основного периода N.
Это является следствием того, что
комплексная экспонента
периодична по k с периодом
N, т.е.
,
и т.д., следовательно, множество N
комплексных экспонент с k=0,1,2…N-1
определяет все различные комплексные
экспоненты с частотами, кратными
.
Поэтому представление периодической
последовательности
в виде ряда Фурье содержит только N
этих комплексных экспонент и,
следовательно, имеет вид
|
(1.46) |
.Коэффициенты
в (1.46) получаются из соотношения
|
(1.47) |
Выражения
(1.46) и (1.47) могут рассматриваться как
пара преобразований Фурье. Введем
обозначение
.
Тогда ДРФ (дискретный ряд Фурье) пары
представляются в виде:
|
(1.48) |
|
(1.49) |
можно интерпретировать как равноудаленные по углу выборки z-преобразования одного периода , взятые на единичной окружности.
Теперь перейдем к рассмотрению последовательностей конечной длины. Преобразование последовательности конечной длины будем называть дискретным преобразованием Фурье.
Мы
можем представить последовательность
конечной длины N-периодической
последовательностью периода N,
один период которой совпадает с данной
последовательностью. В этом случае
исходная последовательность имеет
такое же ДРФ представление, что и
периодическая последовательность.
Т.е.
.
Последовательность конечной длины
получается из
выделением одного периода, т.е.
,
где
.
То же самое можно записать и для выражений
в частотной области:
;
.
Тогда
|
(1.50) |
Пара соотношений, определяемая преобразованиями (1.50) будет называться дискретным преобразованием Фурье. Отметим, что ДРФ последовательности конечной длины соответствует равноудаленным выборкам из z-преобразования на единичной окружности. Нужно подчеркнуть, что различие между последовательностью конечной длины и периодической последовательностью длины N невелико в том смысле, что обе они определяются N значениями и поэтому различия между (1.48) и (1.50) не столь велики.
Дискретное преобразование Фурье обладает свойством линейности.
Ранее
было показано, что умножение коэффициентов
ДРФ двух последовательностей соответствует
периодической свертке этих
последовательностей. Рассмотрим
последовательности
и
конечной длительности N с ДПФ
и
,
и определим последовательность
,
для которой коэффициенты ДПФ равны
.
|
(1.51) |
Выражение (1.51) отличается от линейной свертки и . Для линейной свертки основные операции включают умножение на обращенную во времени и линейно сдвинутую копию , а также суммирование значений произведений. Чтобы получить значение свертки, эти последовательности сдвигаются по отношению друг к другу. В противоположность этому для свертки по (1.51) следует представить, что одна из последовательностей расположена на поверхности цилиндра в N равноудаленных точках. Вторая последовательность обращается во времени и также располагается на поверхности цилиндра в N точках. Если вообразить, что один цилиндр помещен внутрь другого, то тогда значение свертки может быть получено путем умножения значений на одном цилиндре на соответствующие значения на другом цилиндре и суммирования полученных произведений. Такая свертка часто называется круговой.
В
большинстве случаев нас интересует
линейная свертка двух последовательностей.
Рассмотрим сначала две N-точечные
последовательности
и
,
и обозначим
их линейную свертку, т.е.
.
Непосредственно проверяется, что
имеет длину 2N-1, т.е. она
может иметь самое большое 2N-1
ненулевых точек. Если она вычисляется
после умножения дискретных преобразований
Фурье
и
,
тогда каждое из этих преобразований
Фурье
и
должно вычисляться на основе 2N-1
точек.
Поэтому, если определить
|
(1.52) |
;
,то будет линейной сверткой и .