2.2. Распределение электростатического потенциала в опз

Распределение электростатического потенциала по координате ψ(х) обычно находится из решения уравнения Пуассона

(2.26)

с граничными условиями на бесконечности

(2.27)

и при х = 0

. (2.28)

Введем характеристическую длину

, (2.29)

имеющую смысл дебаевской длины экранирования в собственном полупроводнике, и безразмерную координату

(2.30)

и, учитывая и , запишем (2.26) в безразмерных величинах

, (2.31)

где .

В объеме полупроводника ; на поверхности , который считается заданным.

Интегрируя уравнение Пуассона, будем иметь

. (2.32)

Используя и (2.26), можно получить

. (2.33)

В выражении (2.33) обозначим

. (2.34)

Очевидно, F(y) имеет смысл безразмерной напряженности электрического поля в ОПЗ. Берется знак противоположный знаку y.

Для стандартной модели ОПЗ интеграл (2.33) легко берется

. (2.35)

В этом выражении первое, второе и третье слагаемое в скобках относятся к дырочному, электронному и неподвижному заряду ионов соответственно.

Разделяя переменные в (2.33) и интегрируя по от до и, соответственно, по у от у = Y и до у, получим

(2.36)

зависимость изгиба зон от расстояния. Интеграл в правой части с F(y) в виде (2.36) не берется.

Рассмотрим 3 практически важных частных случая, когда можно получить зависимость изгиба зон от безразмерной координаты в виде алгебраического выражения. Для определенности будем считать полупроводник n-типа (λ << 1).

2.2.1. Обогащенный слой на поверхности

Обогащенный электронами слой в полупроводнике n-типа возникает при изгибе зон вниз (Y > 0) (рис. 2.6). Легко видеть, что в этом случае в той части ОПЗ, где y >> 1

, (2.37)

, (2.38)

, (2.39)

. (2.40)

Рис. 2.6. Зонная диаграмма поверхности полупроводника n-типа при обогащении.

Наблюдается логарифмическая зависимость y от расстояния. Так как y > 0, то

(2.41)

и при Y >> 1

, (2.42)

, (2.43)

т.е.

. (2.44)

Если перейти к размерным величинам, то можно получить границу ОПЗ

, , , , (2.45)

. (2.46)

Представляет интерес оценка ширины обогащенного слоя по последней формуле. Например, в n-Si при комнатной температуре: см^-3,  см^‑3, , см, x₀ ≈ 4∙10^‑6 см. Таким образом, при сильном обогащении поверхности основными носителями заряда область их локализации становится даже меньше длины свободного пробега (в монокристалле Si ~ 10^‑5 cм). В связи с этим в таком тонком слое сильно падает подвижность носителей заряда, что является проблемой для получения полевых транзисторов с высокой крутизной управления.

2.2.2. Обедненный слой на поверхности полупроводника

В случае обеднения (слой Шоттки), которое в полупроводнике n-типа возникает при небольшом изгибе зон вверх (рис 2.7), когда выполняется условие . В этом случае

Рис. 2.7. Зонная диаграмма поверхности при обеднении.

, (2.47)

, (2.48)

(2.49)

или

. (2.50)

Полагая у = 0, получим

, (2.51)

где – длина экранирования, тогда

. (2.52)

Имеет место типичная для слоя обеднения квадратичная зависимость . Толщина этого слоя зависит от Y по формуле

, (2.53)

. (2.54)

и в раз больше, чем в обогащенном слое при одинаковом значении Y (при обогащении х₀ от Y не зависит).

Выражение (2.50) нетрудно привести к привычному виду (в системе СИ)

. (2.55)

Как показывает расчет по формуле (2.55), толщина ОПЗ в этом случае максимальна. Например, при высоте поверхностного барьера ≈ 0.6 В и n₀ ≈ 10¹⁶ см^‑3 х = 0.3 мкм.