8.2.1. Пример формирования ммс муп

Составим математическую модель для принципиальной электрической схемы(см. рис. 8.2).

Составим систему уравнений токов узлов 1, 2 относительно потенциалов узлов φ_iв соответствии с МУП.

Токи ветвей описываются следующим образом

; ; ;

Рис.8.2.Принципиальная электрическая схема

Подставив эти выражения в систему, получим:

Для этого примера общий вид полученной системы уравнений .

В частном случае линейной резистивной схемы, т. е. схемы, состоящей из линейных резисторов, источников тока, управляемых напряжением по линейному закону и независимых источников тока, математической моделью будет система линейных алгебраических уравнений видаY⸱φ+J=0.

Здесь: Y– матрица узловых проводимостей,φ–вектор независимых переменных – узловых потенциалов, J– вектор независимых источников тока.

Алгоритм формирования матрицы узловых проводимостей и вектора независимых источников тока:

1. Обнуляем массивы Y, J, отведённые под матрицу узловых проводимостей и вектор независимых источников тока;

2. Просматриваем все ветви, входящие в схему.

Если ветвь, включённая между узлами i, j резистор с проводимостью y, то к элементам ii, ij,ji, jj массива Y прибавляем y,-y,-y,y.

Если ветвь, включённая между узлами i, jисточник тока, управляемый напряжением ветви, включённой между узламиk, m с коэффициентом g, то к элементам ik,im,jk,jmмассива Y прибавляем g,-g, -g, g.

Если ветвь, включённая между узлами i, jнезависимый источник тока G, то к элементам i, jмассива J добавляем G, -G.

8.3. Специфика математических моделей бис

• Большая размерность

Известно, степень интеграции ИС постоянно растёт, следовательно, растёт размерность соответствующих математических моделей ИС, характеризующихся порядком соответствующих систем уравнений.

• Разреженность

При представлении математических моделей ИС в матричной форме, не более 10% элементов матрицы оказываются ненулевыми. Такое свойство модели называется разреженностью. Очевидно, что хранить нулевые элементы таких матриц и выполнять операции с ними нецелесообразно. Поэтому в практике схемотехнического моделирования нашли применение способы хранения только ненулевых элементов матриц.

• Жёсткость

Элементы схем имеют большой разброс номинальных значений параметров. Это ведет к большому разбросу собственных значений матриц параметров элементов схем (например, матрицы узловых проводимостей при применении метода узловых потенциалов). Если число обусловленности матрицы

,

где λ_max и λ_min– соответственно максимальное и минимальное собственные значения матрицы, то уравнение называется жестким.

Жесткость уравнений обусловливает трудности их решения.

8.4. Основы динамического анализа электронных схем

Целью динамического анализа является моделирование процессов распространения электрических сигналов в электронных схемах.

Задачу моделирования переходных процессов в электронных схемах можно свести к задаче интегрирования системы обыкновенных дифференциальных первого порядка с начальными условиями, т.е. к задаче Коши.

Построение алгоритмов численного интегрирования основано на дискретизации задачи путем замены непрерывного временного интервала интегрирования на дискретный. Для этого делят интервал времени моделирования [a, b] на небольшие приращения (вводят дискретный набор точекt_i). Каждое приращение h_k=Δt_k называют шагом интегрирования. Производныезаменяются конечно-разностными алгебраическими выражениями. В результате исходная система ОДУ заменяется системой конечно-разностных уравнений. Под конечно-разностными уравнениями понимаются алгебраические соотношения между компонентами, отнесенные к узлам. При этом приближенное значение переменнойx_k+1вычисляется с учетом значений величин, найденных ранее. Если формула, по которой вычисляетсяx_k+1, зависит явно только отx_k, то метод называется одношаговым. Если x_k+1вычисляется по двум предыдущим значениямx_k,x_k+1, то метод называется двухшаговым. Следовательно, методы можно классифицировать по признаку числа предыдущих значений переменных, которые используются для вычисления очередного значения переменной. Поскольку численный метод не позволяет найти точное решениеx(t_k), обозначим вычисленное значение для момента времени t=t_k какx_k. Равенствоε_k = ||x(t_k) - x_k||называют локальной ошибкой приt=t_k. Локальная ошибка состоит из двух компонентов –методической ошибки и ошибки округления, в предположении, что значение x на предыдущем шаге известно точно. Методическую ошибку называют также алгоритмической, поскольку она зависит от вида численного алгоритма разностной аппроксимации производных.

Локальная ошибка округления зависит от типа вычислительной машины, т.е. она не может быть уменьшена для данной машины, однако различные методы интегрирования по-разному влияют на ошибку округления. Важно помнить, что общая ошибка округления при t=t_kне равна сумме локальных ошибок округления, возникающих на каждом шаге. Поэтому для сравнения точности двух алгоритмов необходимо сравнивать их в одни и те же моменты времени t_k при одном и том же начальном состоянии.

Помимо локальной ошибки рассматривается также глобальная ошибка. Она является разностью между вычисленным и «теоретическим» решениями. Эта ошибка состоит из двух частей –локальной ошибки и распространяемой ошибки. Глобальная ошибка в узле t_k+1– это глобальная ошибка в узлеt_k, умноженная на некоторую величину, называемую множителем перехода, плюс локальная ошибка в узлеt_k+1. При этом с увеличением числа шагов как методическая, так и ошибка округления могут накапливаться. Метод, обладающий свойством уменьшения ошибки округления при увеличении числа шагов, называется численно-устойчивым. В противном случае он является численно-неустойчивым. Устойчивость метода, как правило, зависит от выбора величины шага интегрирования. В этом случае метод относят к классу условно-устойчивых. Если метод устойчив при любом шаге интегрирования, то его относят к классу глобально (абсолютно, А-устойчивых) методов.

Рассмотрим три простейших метода численного интегрирования. Это: