Основные шаги мкэ

Основные шаги МКЭ показаны на рис. 1.2. Схематично их можно назвать следующим образом:

• Идеализация

• Дискретизация

• Решение.

Рис.1.2. Основные шаги МКЭ

Идеализация. Под идеализацией понимают процесс перехода от исходной физиче- ской системы к математической модели. Этот процесс является наиболее важным шагом при решении технической или инженерной задачи.

Ключевым пунктом в этом процессе является понятие модели, которую можно опре- делить как символическое устройство, построенное для моделирования и предсказания поведения системы. Математическое моделирование, или идеализация, есть процесс, с помощью которого инженер переходит от реальной физической системы к математиче- ской модели системы. Данный процесс называется идеализацией, поскольку математиче- ская модель необходимо абстрагируется от физической реальности.

В качестве примера реальной физической системы рассмотрим инженерную конст- рукцию в виде плоской пластины, нагруженную поперечными силами. Математические модели данной системы, которые инженер может использовать для анализа напряжений в пластине, могут быть следующими [7, 17]:

1. Модель очень тонкой пластины, основанная на теории изгиба мембран.

2. Модель тонкой пластины, основанная на классической теории Кирхгоффа.

3. Модель достаточно толстой пластины, основанная, например, на теории Миндлина-Рейсснера.

4. Модель очень толстой пластины, основанная на трехмерной теории упруго-

сти.

Очевидно, инженер должен обладать достаточными теоретическими знаниями, чтобы правильно выбрать соответствующую математическую модель системы (конструкции), которую ему необходимо исследовать.

Дискретизация области, т.е. замена континуальной среды совокупностью КЭ задан- ной формы, соединенных между собой в узлах конечным числом связей.

Этот этап, несмотря на видимую простоту, имеет важное значение, хотя он и не обу- словлен строгими теоретическими рекомендациями и во многом определяется интуитив- но. Обычно при построении конечно-элементной модели руководствуются предваритель- ными представлениями о характере ожидаемого результата, и в местах высоких градиен- тов искомых величин сетку конечных элементов сгущают.

Решение

1. Выбор вариационного принципа.

Выбор вариационного принципа определяет основные неизвестные функции, через которые впоследствии устанавливаются остальные неизвестные. В задачах механики де- формируемого твердого тела используются следующие вариационные принципы [3]: принцип Лагранжа, в соответствии с которым варьируются перемещения; принцип Кас- тильяно (варьируются напряжения), принцип Рейсснера (варьируются перемещения и на- пряжения), принцип Ху-Вашицы (варьируются перемещения, напряжения и деформации). В практических расчетах чаще всего используется принцип Лагранжа.

2. Выбор аппроксимирующих функций.

При кусочно-непрерывной аппроксимации предполагается, что перемещения внутри элемента могут быть выражены через перемещения в его узлах. Эта связь описывается при помощи так называемых функций формы, которые аппроксимируют действительное

поле перемещений внутри элемента. От выбора аппроксимирующих функций в значи- тельной степени зависит точность решения. Эти функции должны удовлетворять следую- щим критериям:

• критерию полноты: при стремлении размеров элемента к нулю выбранные функции формы должны обеспечить любые простые значения.

• критерию совместимости: функции формы должны обеспечивать непрерывность пе- ремещений и ее производных до (n-1)-го порядка на границе между элементами (где n- порядок старшей производной в функционале энергии).

При выполнении этих критериев с увеличением числа конечных элементов, модели- рующих конструкцию, результаты расчета монотонно сходятся к точному решению. На- рушение критерия совместимости в ряде случаев приводит к достоверному результату, но сходимость в этих случаях не будет монотонной.

3. Реализация вариационного принципа.

На этом этапе осуществляется вычисление матриц жесткостей элементов и построение глобальной матрицы системы алгебраических уравнений и вектора узловых сил. Глобаль- ная матрица жесткости может быть получена несколькими методами:

• методом непосредственного сложения жесткостей;

• методом конгруэнтного преобразования;

• при помощи конечно-разностных операторов.

4. Учет граничных условий.

Полученная на основе указанных методов матрица жесткости является вырожденной, поскольку в соответствии с уравнениями равновесия заданной системы часть уравнений (для пространственных систем – шесть, а для плоских - три) окажутся взаимно зависимы- ми. Корректировка этой матрицы при учете граничных условий приводит к невырожден- ной системе линейных алгебраических уравнений.

5. Решение системы алгебраических уравнений.

Для решения системы алгебраических уравнений используются стандартные про- граммы, имеющиеся в математическом обеспечении ЭВМ, и специально подготовленные и лучшим образом учитывающие симметрию и структуру матрицы жесткости системы – редкозаполненность или ленточность.

6. Определение распределения полей искомых величин.

После определения узловых перемещений в соответствии с известными соотноше- ниями теории упругости могут быть определены деформации и напряжения.

3. САПР МЭМС устройств

Термин МЭМС является аббревиатурой для МикроЭлектроМеханических Систем. В этом контексте:

•―Микро‖ означает, что устройства являются экстремально маленькими с размерами порядка микрометров и меньше.

•―Электро‖ – включены некоторые электрические компоненты.

•―Механические‖ система выполняет какие-либо механические движения.

•―Системы‖ отражает тот факт, что все эти особенности объединены в одном корпус. МЭМС технология использует существующую микроэлектронную базу и инфра-

структуру для создания комплексных машин в микроскопическом масштабе. Обширные области применения таких устройств существуют в коммерческих и индустриальных сис- темах. Хорошо известные компоненты, такие как интегральные кремниевые датчики дав- ления, акселерометры, датчики движения нашли широкое применение в течение послед- них лет в автомобилестроении и промышленности.

МЭМС состоят из микроскопических электромеханических компонентов, однако не все инженеры проектировщики принимают во внимание, что почти все МЭМС устройства включают в себя несколько областей физики (мультифизичность multiphysics). Как мини- мум в устройстве есть электрические и механические части, описываемые соответствую- щей физической теорией. Также часто электрические и механические элементы являются сопряженными посредством теплофизических, электрохимических или других эффектов, что добавляет третий или четвертый физический эффект в систему.

Мультифизичная природа МЭМС устройств требует от разработчика широкого пони- мания и знаний в различных областях физики. Вследствие того, что некоторые эффекты на микроуровне являются новыми или проявляются отлично от эффектов на макроуровне инженеры должны обладать новой философией системного проектирования. При проек- тировании МЭМС устройств становится трудно разбивать проект на несколько частей, что являлось обычным при проектировании макроустройств, когда один инженер мог изучать механику, в то время как остальные концентрировались, например на электрических и те- пловых аспектах. Таким образом, инженер МЭМС является системным проектировщиком, оперирующим несколькими физическими областями одновременно и САПР должен по- зволять ему это делать.

Пионеры МЭМС проектирования в исследовательских и промышленных организаци- ях решили некоторые проблемы в области моделирования и проектирования. Они ис- пользовали существующее программное обеспечение для анализа поведения МЭМС уст- ройств с помощью численных методов (САПР основанный на МКЭ). В то же время оче- видна необходимость разработки и использования новых САПР, реализующих системный подход к проектированию МЭМС.