Основные шаги мкэ
Основные шаги МКЭ показаны на рис. 1.2. Схематично их можно назвать следующим образом:
Идеализация
Дискретизация
Решение.
Рис.1.2. Основные шаги МКЭ
Идеализация. Под идеализацией понимают процесс перехода от исходной физической системы к математической модели. Этот процесс является наиболее важным шагом при решении технической или инженерной задачи.
Ключевым пунктом в этом процессе является понятие модели, которую можно определить как символическое устройство, построенное для моделирования и предсказания поведения системы. Математическое моделирование, или идеализация, есть процесс, с помощью которого инженер переходит от реальной физической системы к
математической модели системы. Данный процесс называется идеализацией, поскольку математическая модель необходимо абстрагируется от физической реальности.
В качестве примера реальной физической системы рассмотрим инженерную конструкцию в виде плоской пластины, нагруженную поперечными силами. Математические модели данной системы, которые инженер может использовать для анализа напряжений в пластине, могут быть следующими [7, 17]:
Модель очень тонкой пластины, основанная на теории изгиба мембран.
Модель тонкой пластины, основанная на классической теории Кирхгоффа.
Модель достаточно толстой пластины, основанная, например, на теории Миндлина-Рейсснера.
Модель очень толстой пластины, основанная на трехмерной теории упругости.
Очевидно, инженер должен обладать достаточными теоретическими знаниями, чтобы правильно выбрать соответствующую математическую модель системы (конструкции), которую ему необходимо исследовать.
Дискретизация области, т.е. замена континуальной среды совокупностью КЭ заданной формы, соединенных между собой в узлах конечным числом связей.
Этот этап, несмотря на видимую простоту, имеет важное значение, хотя он и не обусловлен строгими теоретическими рекомендациями и во многом определяется интуитивно. Обычно при построении конечно-элементной модели руководствуются предварительными представлениями о характере ожидаемого результата, и в местах высоких градиентов искомых величин сетку конечных элементов сгущают.
Решение
Выбор вариационного принципа.
Выбор вариационного принципа определяет основные неизвестные функции, через которые впоследствии устанавливаются остальные неизвестные. В задачах механики деформируемого твердого тела используются следующие вариационные принципы [3]: принцип Лагранжа, в соответствии с которым варьируются перемещения; принцип Кастильяно (варьируются напряжения), принцип Рейсснера (варьируются перемещения и напряжения), принцип Ху-Вашицы (варьируются перемещения, напряжения и деформации). В практических расчетах чаще всего используется принцип Лагранжа.
Выбор аппроксимирующих функций.
При кусочно-непрерывной аппроксимации предполагается, что перемещения внутри элемента могут быть выражены через перемещения в его узлах. Эта связь описывается при помощи так называемых функций формы, которые аппроксимируют действительное поле перемещений внутри элемента. От выбора аппроксимирующих функций в значительной степени зависит точность решения. Эти функции должны удовлетворять следующим критериям:
критерию полноты: при стремлении размеров элемента к нулю выбранные функции формы должны обеспечить любые простые значения.
критерию совместимости: функции формы должны обеспечивать непрерывность перемещений и ее производных до (n-1)-го порядка на границе между элементами (где n- порядок старшей производной в функционале энергии).
При выполнении этих критериев с увеличением числа конечных элементов, моделирующих конструкцию, результаты расчета монотонно сходятся к точному решению. Нарушение критерия совместимости в ряде случаев приводит к достоверному результату, но сходимость в этих случаях не будет монотонной.
Реализация вариационного принципа.
На этом этапе осуществляется вычисление матриц жесткостей элементов и построение глобальной матрицы системы алгебраических уравнений и вектора узловых сил. Глобальная матрица жесткости может быть получена несколькими методами:
методом непосредственного сложения жесткостей;
методом конгруэнтного преобразования;
при помощи конечно-разностных операторов.
Учет граничных условий.
Полученная на основе указанных методов матрица жесткости является вырожденной, поскольку в соответствии с уравнениями равновесия заданной системы часть уравнений (для пространственных систем – шесть, а для плоских - три) окажутся взаимно зависимыми. Корректировка этой матрицы при учете граничных условий приводит к невырожденной системе линейных алгебраических уравнений.
Решение системы алгебраических уравнений.
Для решения системы алгебраических уравнений используются стандартные программы, имеющиеся в математическом обеспечении ЭВМ, и специально подготовленные и лучшим образом учитывающие симметрию и структуру матрицы жесткости системы – редкозаполненность или ленточность.
Определение распределения полей искомых величин.
После определения узловых перемещений в соответствии с известными соотношениями теории упругости могут быть определены деформации и напряжения.
САПР МЭМС устройств
Термин МЭМС является аббревиатурой для МикроЭлектроМеханических Систем. В этом контексте:
•―Микро‖ означает, что устройства являются экстремально маленькими с размерами порядка микрометров и меньше.
•―Электро‖ – включены некоторые электрические компоненты.
•―Механические‖ система выполняет какие-либо механические движения.
•―Системы‖ отражает тот факт, что все эти особенности объединены в одном корпус.
МЭМС технология использует существующую микроэлектронную базу и инфраструктуру для создания комплексных машин в микроскопическом масштабе. Обширные области применения таких устройств существуют в коммерческих и индустриальных системах. Хорошо известные компоненты, такие как интегральные кремниевые датчики давления, акселерометры, датчики движения нашли широкое применение в течение последних лет в автомобилестроении и промышленности.
МЭМС состоят из микроскопических электромеханических компонентов, однако не все инженеры проектировщики принимают во внимание, что почти все МЭМС устройства включают в себя несколько областей физики (мультифизичность multiphysics). Как минимум в устройстве есть электрические и механические части, описываемые соответствующей физической теорией. Также часто электрические и механические элементы являются сопряженными посредством теплофизических, электрохимических или других эффектов, что добавляет третий или четвертый физический эффект в систему.
Мультифизичная природа МЭМС устройств требует от разработчика широкого понимания и знаний в различных областях физики. Вследствие того, что некоторые эффекты на микроуровне являются новыми или проявляются отлично от эффектов на макроуровне инженеры должны обладать новой философией системного проектирования. При проектировании МЭМС устройств становится трудно разбивать проект на несколько частей, что являлось обычным при проектировании макроустройств, когда один инженер мог изучать механику, в то время как остальные концентрировались, например на электрических и тепловых аспектах. Таким образом, инженер МЭМС является системным проектировщиком, оперирующим несколькими физическими областями одновременно и САПР должен позволять ему это делать.
Пионеры МЭМС проектирования в исследовательских и промышленных организациях решили некоторые проблемы в области моделирования и проектирования. Они использовали существующее программное обеспечение для анализа поведения МЭМС устройств с помощью численных методов (САПР основанный на МКЭ). В то же время очевидна необходимость разработки и использования новых САПР, реализующих системный подход к проектированию МЭМС.