Лабораторная работа №1 анализ случайных величин

Цель работы.

Найти наивероятнейшее значение измеряемой величины (среднее арифметическое ), точности полученных результатов, среднюю квадратическую и наибольшую ошибки среднего арифметического.

Основные положения.

Одним из важнейших основных понятий теории вероятностей является понятие о случайной величине.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то ли иное значение, причём неизвестно заранее, какое именно. Говоря о значениях случайной величины, мы подчеркиваем тем самым, что они (значения) могут быть получены путём тех или иных измерений. Если ожидаемые результаты измерений можно заранее отделить друг от друга, то соответствующие им случайные величины называются дискретными (число попаданий при пяти выстрелах, количество годных деталей в партии из заранее оговоренного их числа и т.п.). В то же время существуют случайные непрерывные величины, когда возможные их значения не могут быть перечислены, не отделены друг от друга, заполняют непрерывно некоторый промежуток (дальность полёта снаряда, ошибка взвешивания тела на весах и т.п.).

При рассмотрении любой дискретной случайной величины можно установить связь межу конкретным её значением и частотой появления этого значения (в пределе частота событий будет равна вероятности событий). Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями называются законом распределения этой величины.

Простейшей формой задания закона распределения является таблица с приведёнными в ней возможными значениями случайной величины х_i соответствующими им вероятностями (ряд распределения). Пример такого ряда распределения приведён в табл. 1.1.

Таблица 1.1 - Табличные распределения

хi	2	4	6	8	10
pi	0,1	0,2	0,4	0,2	1

Поскольку дискретные ве­личины являются несовместными, то полная сумма их вероятностей для придания ряду распределения наглядного вида часто изображают его графически, получая многоугольник распределения.

Пример, соответствующий данным, приведенным в табл. 1.1, показан на рис. 1.1.

Ряд распределения дает исчерпывающую характеристику слу­чайной величины, но построить его для непрерывной случайной величины нельзя, так как невозможно перечислить все ее возмож­ные значения для количественной характеристики такого распре­деления удобно воспользоваться не вероятностью события х=х_i а вероятностью события х<х_i, и ввести понятие функции распреде­ления, называемой иногда интегральной функцией распределения:

f(x_i) = p(x<x_i). (1)

Она имеет следующие общие свойства:

1. функция распределения f(х_i) есть неубывающая функция своего аргумента;

2. на минус бесконечности функция распределения равна нулю, то есть f(-∞) = 0;

3. на плюс бесконечности функция распределения равна еди­нице, то есть f(+∞) = 1.

Функция распределения - универсальная характеристика случайной величины. Она существует и для непрерывных, и для дискретных случайных величин. Так, для примера, приведенного в табл. 1.1, график функции распределения показан на рис. 1.2.

Если на некоторых участках случайная величина будет изме­няться непрерывно, то на данных участках f(x_i) будет плавно воз­растать, если же случайная величина непрерывна на всех участках, го она примет вид кривой, приведенной на рис. 1.3.

Как следует из определения функции f(x), что и отражено на рис 1.2 и 1.3, функция распределения дискретной величины изо­бражается ступенчатой линией, а функция распределения непре­рывной случайной величины в виде плавной возрастающей линии.

Важной характеристикой случайной величины является ее плотность вероятности, или плотность распределения. Так назы­вают предел отношения вероятности попадания значения случайной величины в бесконечно малый интервал (х, х + δх) к длине этого интервала:

δх: , (2)

что, собственно, является производной функции распределения.

Вид кривой плотности распределения для общего случая пока­зан на рис. 1.4.

Следует отметить, что плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.

Ее основные свойства:

1. Плотность распределения не является отрицательной вели­чиной: f(х) ≥ 0.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределе­ния равен единице:

(3)

3. Вероятность попадания случайной величины х в интервал а, b (см. рис. 1.4) определяется равенством:

(4)

4. Функция распределения f(x) может быть выражена через плотность распределения:

(5)

Плотность распределения является одной из форм закона распределения. Среди законов распределения большое значение имеют биномиальное распределение, распределение Пуассона.

Биномиальное распределение – это когда каждый член разложения численно равен вероятно­сти некоторого события а, характерного тем, что при известной ве­роятности Р его появления в каждом единичном опыте оно появит­ся т раз из возможного числа n всех испытаний. Общий член раз­ложения удобнее представить в виде:

(6)

Эта формула и представляет собой закон биномиального рас­пределения. Поскольку величины m могут принимать только вполне определенные целые значения, то данное распределение относится только к дискретным случайным величинам. График биномиального распределения представляет собой ломаную линию, форма которой зависит от зна­чений р, т и n. на рис. 1.5;

Распределение Пуассона

Рассматривая закон биноми­ального распределения (6), можно задать следующие условия: число опытов n стремится к бесконечности, а вероятность р стре­мится к нулю, при этом их произведение a = n*р сохраняет по­стоянное значение. Такое предельное представление биномиально­го распределения называется распределением Пуассона и может быть выражено, как показывает Е. С. Вентцель [1], формулой:

(7)

позволяющей найти для записанных выше условий вероятность появления некоторого события а при большом числе n независи­мых опытов, в каждом из которых событие а имеет очень малую вероятность р.

Иногда распределение Пуассона называют законом редких яв­лений. Покажем его применение на примере. пусть известно, что на ткацком станке нить обрывается в среднем 0,25 раза за один час работы станка (р=0,25). определить вероятность того, что за во­семь часов работы произойдет три обрыва нити (т=3).

Для решения определим и по формуле (7) получаем искомый результат:

Из формулы (6) можно получить вероятность появления со­бытия хотя бы один раз в некоторой группе n:

(8)

Зависимость (8) используют для решения, например, таких задач: определить вероятность поражения малоразмерной цели при стрельбе по площади.

Пусть известно, что цель площадью s=0,6 м² находится в неко­тором осколочном поле, характеризующимся двумя попаданиями на один квадратный метр. Если для поражения цели достаточно попадания в нее хотя бы одного осколка, то вероятность такого со­бытия при будет равна:

Нормальное распределение.

Расчет вероятностей по формуле (6) при больших n весьма громоздок. С учетом прерыв­ности величины m аналитическое отыскание суммы вероятностей для областей с некоторыми границами затруднительно [1]. В предельном случае (n→∞, m – любое число, в том числе и не целое, p=0,5) закон биномиального распределения можно выразить иначе. Новое его выражение называется законом нормального распределения (законом гаусса), а плотность вероят­ности в этом случае будет:

, (9)

где т - математическое ожидание величины х; σ - среднее квадратическое отклонение величины х (определение величин m и σ бу­дет дано ниже).

Кривая по закону нормального распределения имеет симметричный вид, при этом максимальная ордината кривой равна в точке х=т; по мере удаления от точки m плотность распределения уменьшается, а при х → ± ∞ кривая асимптотически приближается к оси абс­цисс. Поскольку площадь под кривой плотности в любом случае равна единице, то параметр σ влияет на форму кривой, вытягивая ее вверх при уменьшении значения σ.

Большинство встречающихся на практике случайных величин могут быть представлены как суммы весьма большого числа от­дельных слагаемых, практически не зависящих друг от друга.

На­пример, отклонения в попаданиях снарядов от средней точки при­целивания зависят от метеоусловий, отклонений в массе снаряда и т. д. Показано [1], что такая сумма приближенно подчиняется закону нормального распределения. При этом, чем большее число факторов будет влиять на рассматриваемую случайную величину, тем ближе будет это распределение к теоретическому нормальному закону распределения.

Закон нормального распределения, имеющий глубокое теоре­тическое обоснование его свойств, используется в качестве основ­ного во многих практических исследованиях, результаты опытов сравниваются именно с ним.

Методы обработки результатов измерений.

Анализ результатов любого исследования становится более убедительным и наглядным, если он соответствующим образом об­работан. Разработка методов регистрации, описания и анализа ре­зультатов исследований составляет содержание специальной науки - математической статистики. Основной предпосылкой сущест­вующих методов обработки результатов является представление по­следних в качестве случайных величин, полученных как некоторая выборка из генеральной совокупности этих величин, под которой подразумевается все множество возможных значений этих величин.

Вычисление средних величин.

Одной из основных характеристик случайной величины являет­ся ее математическое ожидание:

(10)

где p_i - вероятность появления случайной величины у, в каждом п, измерении при их общем числе n.

При ограниченном числе измерений вместо вероятности ис­пользуется частота события и вместо м(у) определяется средняя арифметическая величины у:

(11)

Для измерений, подчиняющихся закону нормального распреде­ления, иногда вместо средней арифметической величины исполь­зуют моду (наиболее часто встречающуюся величину) или медиану (среднюю в ранжированном ряду величин).

Конкретные величины у_i будут отличаться от средней на раз­ность .

Для анализа этих отклонений используются сле­дующие характеристики:

1) среднее арифметическое отклонение

(12)

А для малого числа измерений

(13)

2) среднее квадратическое отклонение

(14)

При этом, -дисперсия (математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания).

В дальнейшем мы будем обозначать дисперсию и т. п., подчеркивая, какую конкретно величину мы анализируем;

3) срединное (вероятное отклонение) е - это такая величина, относительно которой вероятность отклонений в большую и мень­шую сторону одинакова и равна 0,5. Соотношения между этими отклонениями приблизительно равны:

6е ≈ 5е₁ ≈4е₂ (15)

Чаще других используется среднее квадратическое отклонение σ_у, определяющее характер разброса случайной величины, точ­ность ее определения. Для оценки достоверности полученных ре­зультатов А. К. Митропольский [1] рекомендует использовать по­казатель точности исследования:

(16)

Чем точнее проведено исследование, тем меньше будет показа­тель р_т для технических задач его желательно иметь менее 5 %.

Если известна (или задана) мера изменчивости , то из формулы (16) можно получить необходимое для достоверности число экспериментов (наблюдений) n.

При прогнозировании следует знать не только конкретную среднюю в какой-либо точке t_i но и ее изменение от времени или изменения какого-то иного фактора, то есть знать эти средние в нескольких точках.

Если линии, соединяющие указанные точки, представляют собой ломаную, то ее следует сгладить. В ряде случаев сглаживание может облегчить применение методов выделения существующих тенденций изменения y(t).

Один из наиболее простых приемов сглаживания [1] заключается в расчете скользящих средних, позволяющих сделать плавными периодические и случайные колебания исследуемой величины.

Если рассматривать динамический ряд, состоящий из p уров- ней, то скользящая средняя будет представлять собой среднюю ве- личину для т последовательных уровней этого ряда (т < п). Для каждого i-го уровня ряда скользящая средняя может быть вычисле- на по формуле:

, (17)

где

Желательно принимать m нечетным числом, тогда р = 1; 2; 3;... Как видно, при вычислении скользящей средней теряются 1, 2, 3... Крайние точки ряда. Зато можно наглядно наблюдать существую­щую тенденцию изменения y(t) (рис. 1.7).

Считая, что простые скользящие средние являются весьма гру­бым статистическим приемом выявления тенденции, часто иска­жающим оценку исследуемого процесса, Е.М. Четыркин [3] ре­комендует применять взвешенные скользящие средние. Под весом в

В данном случае понимается расстояние от середины интервала сглаживания. Точкам, находящимся ближе к середине конкретного интервала, приписывается больший вес. Метод определения весов, рекомендованный им, позволяет получить следующие формулы для нечетных m:

(18)

(19)

(20)

Если полученные расчетные значения все еще обладают значительной колеблемостью, то рекомендуется повторить процесс усреднения, то есть произвести второе, а потом, может быть, и третье сглаживание.

На наш взгляд, целесообразнее использовать в качестве коэф­фициентов при у известные биномиальные коэффициенты из так называемого треугольника паскаля. Тогда при нечетных m полу­чатся следующие формулы:

(21)

(22)

(23)

Сглаживания но этим формулам меньше искажают общую тен­денцию, а мелкие волны не меняют свой знак (вместо выпуклого участка на кривой не получается вогнутый) для наглядности пока­жем это на рис. 1.8.

Кстати, для приведенного на рис. 1.8 примера вычисления, произведенные по формуле (19) практически совпадают с вычис­лениями по формуле (17) при m-3. Также близки между собой вычисления, произведенные по формулам (21) и (22). В связи с этим не всегда нужно расширять интервал сглаживания m.

Более мягкое сглаживание по формуле (22), получается также и для ломаной с некоторой цик­личностью. Пример этого показан на рис. 1.9.

Следует отметить, что сам термин "взвешенная скользящая средняя" в приведенном выше варианте соответствует одинаково­му числу измерений в каждой точке t_i. Более логично было бы учесть также число измерений для каждой i-й точки, особенно для технических задач. Для этого каждую величину следует умножить на соответствующее число измерений .

Результаты измерений представляют собой случайные величины. Процесс обработки экспериментальных данных заключается в нахождении наивероятнейшего значения измеряемой величины (среднего арифметического ), точности полученных результатов, средней квадратической и наибольшей возможной ошибки среднего арифметического.

Точность отдельного измерения определяется по формуле:

Точности среднего арифметического определяется по формуле:

,

т.е. точность среднего арифметического больше точности отдельных измерений и пропорциональна квадратному корню из числа измерений. Cредняя квадратическая ошибка среднего арифметического определяется по формуле:

,

где - средняя квадратическая ошибка отдельного измерения.

Вероятная и наибольшая возможная (при Р-0,997) ошибки среднего арифметического, соответственно, равны:

и

При записи среднего арифметического принято указывать его среднюю квадратическую ошибку.

Порядок выполнения работы.

1. Выберите вариант задания из таблицы случайных чисел.

2. Определите среднее арифметическое.

3. Найдите среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения.

4. Определите наибольшую возможную ошибку отдельного измерения и убедитесь, что среди результатов измерений нет таких, которые отличались бы от среднего арифметического более чем на . Если бы таковые оказались, их следует отбросить и начать обработку сначала. Данные сведите в таблицу.

5. Определите среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического.

6. Определите характеристики , h и H.

Таблица 1.2

№	Xi		h	H	0	r0	S2	3	A3	4	B4
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Контрольные вопросы.

1. Что называется случайной величиной?

2. Виды случайных величин?

3. Дискретная случайная величина? Функция распределения. Плотность распределения? Биномиальное распределение?

4. Распределение Пуассона? Нормальное распределение?

5. Вычисление средних величин?