Лабораторная работа №3 статистический анализ расчетных уравнений

Цель работы.

Проверить адекватность уравнений регрессии и значимость его коэффициентов.

Основные положения.

Обработка и оценка экспериментальных данных.

В результате многофакторного эксперимента получают значения отклика y_u в N точках факторного пространства. Для повышения точности экспериментальных данных отклик во многих случаях измеряется несколько раз: ставятся параллельные опыты.

Обработка экспериментальных данных в теории планирования эксперимента в значительной мере формализована, проходит с помощью ЭВМ. Обработка делится на различные этапы, содержащие часто операции условного перехода, допускающие переход к последующему этапу при выполнении некоторого условия. Если условие не выполняется, то вычисления прекращаются, и делаются необходимые изменения в планировании эксперимента. Характер изменений и направление дальнейших действий определяет экспериментатор. Рассмотрим отдельные этапы и возможные варианты неформализованных решений [1].

Для проведения регрессионного анализа примем следующие допущения:

1. Входной параметр x измеряется с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошибкой в определении y. Большая ошибка y объясняется наличием в каждом процессе не выявленных переменных, не вошедших в уравнение регрессии.

2. Результаты наблюдений над выходной величиной y₁, y₂, …, y_N представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины.

3. При проведении эксперимента с объемом выборки N при условии, что каждый опыт повторен m_i раз, i=1, 2,…,N выборочные дисперсии должны быть однородны.

Для исключения явно аномальных, грубых погрешностей, которые могут значительно исказить результаты, в отдельных строках проводится проверка однородности значений y_u. Для этого используют критерий Стьюдента [3]:

,

где - наименьшее или наибольшее значение отклика в u-той строке, которое полагают ошибочным; - среднее значение отклика в u-той строке, вычисленной без учета значения , - оценка среднего квадратичного отклонения.

.

где - число опытов без одного, в котором .

где - оценка дисперсии в u-той точке плана без учета сомнительного результата .

По таблице распределения критерия Стьюдента (приложение 2) находим значение критерия t_т при числе степеней свободы и заданном уровне значимости. Если , то значение согласуется с данными всей первой строчки и участвует в дальнейших расчетах.

Однородность дисперсий при одинаковом числе степеней свободы проверяют по критерию Кохрена, а при разном – по критерию Бартлета. Определенная по параллельным опытам дисперсия воспроизводимости необходима для оценки значимости коэффициентов уравнения регрессии и проверки адекватности уравнения эксперименту.

Критерий Кохрена:

- максимальная дисперсия; - сумма всех дисперсий.

Полученное отношение сравнивается с табличным: G_1-p(f₁, f₂), где уровень значимости p=0.05; f₁=m-1; m – количество параллельных опытов; f₂=N. Если G< G_1-p(f₁, f₂), то дисперсии однородны.

Тогда в качестве оценки для дисперсии воспроизводимости можно взять среднюю дисперсию:

с числом степеней свободы

Оценка значимости коэффициентов производится по критерию Стьюдента:

где - j-тый коэффициент уравнения регрессии; - среднее квадратичное отклонение j-того коэффициента.

Если t_j больше t_p(f) для выбранного уровня значимости p и числа степеней свободы , то коэффициент значимо отличается от нуля; определяется по закону накопления ошибок:

Если выборочные дисперсии однородны, получим

Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии.

Адекватность уравнения проверяется по критерию Фишера:

где - дисперсия адекватности; - дисперсия воспроизводимости; F – критериальное значение.

Если критериальное значение F окажется меньше табличного значения F_1-p(f₁, f₂) для уровня значимости p и чисел степеней свободы f₁=f_ад и f₂=f_воспр, уравнение адекватно эксперименту.

В общем случае (если каждый опыт повторен m_i раз) и вычисляются следующим образом [1].

- сумма квадратов адекватности;

- число степеней свободы дисперсии адекватности;

l – число значимых коэффициентов в уравнении регрессии;

SS_воспр – сумма квадратов, связанная с дисперсией воспроизводимости вычисляется следующим образом:

Дисперсия воспроизводимости равна:

- число степеней свободы дисперсии воспроизводимости:

m_i – параллельные опыты.

Следовательно, дисперсия воспроизводимости вычисляется как:

Рассмотрим формулу вычисления остаточной дисперсии , применяемую при проведении при отсутствии параллельных опытов.

SS_ост – остаточная сума квадратов:

Число степеней свободы остаточной дисперсии определяется по формуле:

Остаточная дисперсия :

Для одинакового числа опытов m₁=m₂=…=m_i=…=m_n=m вычисления упрощаются.

Если опыты проведены без параллельных, а для получения дисперсии воспроизводимости проделана отдельная серия из m опытов, тогда

При отсутствии параллельных опытов и дисперсии воспроизводимости можно оценить качество аппроксимации принятым уравнением, сравнив и дисперсию относительно среднего :

и по критерию Фишера:

В этом случае критерий Фишера показывает, во сколько раз уменьшается рассеяние относительно полученного уравнения регрессии по сравнению с рассеянием относительно среднего. Чем больше значение F превышает табличное F_1-p(f₁, f₂) для выбранного уровня значимости p и чисел степеней свободы и , тем эффектнее уравнение регрессии.

Пример анализа уравнения регрессии для дробного факторного эксперимента [1].

Пусть дана матрица планирования эксперимента.

Но-мер опы-та	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	y1	y2		s2·104
1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	0	0	0	0	0,017	2,9
2	+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	0,108	0,15	0,129	8,82	0,136	0,49
3	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	0	0	0	0	0,0088	0,48
4	+1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	0,194	0,16	0,177	5,78	0,1618	2,3
5	+1	-1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	0,298	0,292	0,295	1,8	0,2896	0,29
6	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	0,400	0,408	0,404	0,32	0,4086	0,21
7	+1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	-1	0,255	0,278	0,266	2,6	0,2638	0,073
8	+1	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	0,453	0,408	0,431	10,1	0,4344	0,015

Для определения коэффициентов линейного уравнения регрессии использован дробный факторный эксперимент

с генерирующими соотношениями

; ; ; .

Каждый опыт в матрице планирования повторен два раза.

Средние значения параметра получены по двум измерениям. Проверим однородность дисперсий , по критерию Кохрена. Сумма дисперсий равна

Критерий Кохрена

Табличное значение критерия Кохрена для уровня значимости p=0.05 и чисел степеней свободы f₁=1, f₂=8

Следовательно, дисперсии однородны. Дисперсия воспроизводимости определяется в связи с этим как средняя арифметическая

Число степеней свободы дисперсии воспроизводимости равно

Коэффициенты уравнения регрессии определяем по формуле:

;

и получим

Оценим значимость коэффициентов по критерию Стьюдента. Для этого по формуле:

Определим ошибку коэффициентов:

и составим t-отношение для всех коэффициентов уравнения регрессии:

Табличное значение критерия Стьюдента t_0.05(8)=2.31. Коэффициенты b₂, b₄, b₆, b₇ незначимы, так как составленные для них t-отношения меньше табличного. После исключения незначимых коэффициентов уравнение регрессии примет вид:

Проверим адекватность этого уравнения эксперименту по критерию Фишера. Дисперсия адекватности определяется по формуле:

Тогда F-отношение равно

Табличное значение критерия Фишера для p=0.05, f₁=4, f₂=8

F_0.95(4.8)=3.8

F < F_0.95(4.8)

и уравнение регрессии адекватно эксперименту.

Порядок выполнения работы.

Для выполнения этой лабораторной работы понадобятся результаты лабораторной работы № 2. Такие как: коэффициенты уравнения регрессии b_j, теоретическое значение отклика , посчитанное с помощью уравнения регрессии. Так как в нашем эксперименте используется построение ортогонального центрально-композиционного плана (ОЦКП) второго порядка, то выполнение анализа уравнения регрессии будет несколько иным, чем в приведенном выше примере [4].