VI. Решение уравнения теплопроводности для бесконечного стержня по формулам Пуассона
Пример 5.
Найти решение следующего уравнения теплопроводности с заданным начальным условием:
где
–
непрерывная при
функция.
Решение.
Решение данной задачи представимо в
виде двух интегралов, один из которых
учитывает начальное условие, а второй
– влияние внутренних источников.
Следовательно,
,
где
и
находим по формулам Пуассона.
Для функции справедливо следующее интегральное представление:
.
Сделаем в интеграле замену переменных
:
Применяем формулу для функции :
.
Преобразуем показатель экспоненты,
выделив полный квадрат по
:
Меняем
порядок интегрирования, делаем замену
переменных
и в итоге получаем:
.
Следовательно,
Задание 8.
Применяя формулы Пуассона, найти решения следующих уравнений теплопроводности для бесконечного стержня.
VII. Решение краевых задач для уравнений эллиптического типа. Прямоугольные и круговые области.
Пример 6.
Найти гармоническую в кольце
функцию,
удовлетворяющую краевым условиям:
.
Решение.
Пусть
–
искомая функция. В силу определения
гармонической функции, она является
решением уравнения Лапласа с смешанными
краевыми условиями на границах кольца:
Используем представление решения уравнения Лапласа для кольца:
Постоянные
найдем из граничных условий. Так как
то, по формулам коэффициентов ряда Фурье, получаем:
Все три системы однозначно разрешимы,
из них находим:
,
,
,
.
Далее, при
,
следовательно,
;
при
,
следовательно,
.
Подставляя найденные коэффициенты в формулу представления решения, имеем окончательно:
Задание 9.
Найти решения следующих краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона в заданных областях.
где – произвольная непрерывная функция.
VIII. Решение вариационных задач на плоскости и в пространстве
Пример 6.
Найти экстремаль функционала
(8.1)
где
– единичный круг с центром в начале
координат, с граничными условиями
.
Решение.
Как известно из курса вариационного
исчисления, если функция
– экстремаль функционала
,
то она является решением уравнения
Эйлера–Пуассона
,
где
Для функционала (8.1)
следовательно,
,
а уравнение Эйлера–Пуассона принимает
вид:
,
то есть представляет собой уравнение эллиптического типа. Область, на которой ищется решение – внутренность круга (ограниченное множество), граница его – окружность, вдоль которой функция обращается в нуль. Следовательно, искомая экстремаль является решением задачи Дирихле для внутренности круга.
Для круга естественно переформулировать
задачу, перейдя к полярным координатам
.
Пусть
.
(8.2)
Заменой переменных
сводим уравнение (8.2) к однородному (с
ненулевыми граничными условиями):
(8.3)
Решение задачи (8.3) имеет представление в виде ряда:
.
Учитывая граничные условия, получаем:
,
откуда по формуле для коэффициентов ряда Фурье имеем:
.
Следовательно,
,
а
.
Возвращаясь к переменным
и функции
,
получаем решение уравнения Эйлера–Пуассона:
.