9.3. Статистический коэффициент линейной корреляции и его свойства

Предположим, что по статистическому выборочному распределению (X, Y) эмпирически установили стохастическую зависимость случайных величин X и Y, которая выражается прямыми регрессий.

При изучении двумерной случайной величины (X, Y) было показано, что для характеристики зависимости составляющих X и Y используется ковариация , а тесноту связи между составляющими и описывает коэффициент корреляции .

Поэтому для характеристики степени линейной зависимости между X и Y на основании выборочных данных введем статистический коэффициент корреляции.

Определение 9.2. Статистическим (эмпирическим) коэффициентом корреляции случайных величин X и Y, между которыми предполагается линейная корреляционная связь, называется отношение статистической (эмпирической) ковариации ( ) к произведению стандартных отклонений и S_Y:

. (9.11)

Используя формулы (9.7) и (9.10), получаем выражение статистического коэффициента корреляции через статистические коэффициенты регрессий:

= . (9.12)

Перед корнем ставится знак плюс, если статистические коэффициенты регрессий положительны, и знак минус — если отрицательны.

Следует отметить, что и статистические коэффициенты регрессий можно выразить через статистический коэффициент корреляции:

= (9.13)

= (9.14)

Тогда уравнения прямых регрессий, учитывая формулы (9.13) и (9.14), можно записать:

, (9.15)

. (9.16)

Из определения статистического коэффициента корреляции следуют его свойства, которые определяют смысл и важность его в линейном корреляционном анализе.

Теорема 9.1. Величина статистического коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения случайных величин X и Y.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, пусть наблюдения над случайными величинами X и Y, составляющие две выборки, произвели в двух различных единицах измерения:

(х₁,у₁), (х₂,у₂),…, (х_п,у_п);

(ах₁,by₁), (ах₂, by₂),..., (ах_п ,bу_п).

Согласно формуле (9.11),

,

что и требовалось доказать.

Теорема 9.2. Статистический коэффициент корреляции r_ху не превосхо­дит по абсолютной величине единицы, т.е.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сумму

(9.17)

квадрат которой всегда неотрицателен. Поэтому неотрицателен будет и квад­рат суммы выражения (9.17) с соответствующими частотами:

(9.18)

где ( могут быть равны единице).

Левую часть неравенства (9.18) представим в виде квадратного трехчлена относительно t:

(9.19)

дискриминант которого, должен быть, в силу неравенства (9.19), меньше либо равен нулю:

.

Из последнего неравенства с помощью элементарных преобразований получим неравенство

которое, согласно определению статистической ковариации и статистических средних квадратических отклонений, можно записать

Разделив это неравенство на положительную величину , будем иметь .

Откуда, согласно формуле (9.11),

Теорема доказана.

Теорема 9.3. Статистический коэффициент корреляции = ± 1 тогда и только тогда, когда между случайными величинами X и Y существует линейная функциональная связь.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть между X и существует линейная функциональная связь

у = ах + b. (9.20)

Это означает, что каждому значению случайной величины X соответствует одно определенное значение случайной величины , определяемое по формуле (9.20) : у_i = ax_i + b . Ясно, что общая средняя случайной величины Y будет равна = а + b, так как

Статистический коэффициент корреляции, согласно формуле (9.11) и нашему предположению о функциональной зависимости, вычислим по формуле

=

Таким образом, если между случайными величинами существует линейная функциональная зависимость, то r_XY = ± 1.

Достаточность. Пусть r_XY = ± 1. Тогда равен нулю дискриминант квадратного трехчлена неравенства (9.19). А это означает равенство нулю выражения

(9.21)

при некотором значении t = t₀ , где - корень квадратного уравнения, со­ответствующего неравенству (9.19) (t₀ = = ). Из равенства (9.21) следует равенство

, (9.22)

которое означает пропорциональную зависимость разностей - и .

Это возможно лишь в случае, когда каждому значению соответствует только одно значение и, наоборот, когда каждому значению соответствует только одно значение . Если бы, например, одному значению случайной величины соответствовали два различных значения случайной величины : х_к и , то, согласно равенству (9.22), получили бы два равенства:.

и .

Но правые части равны, следовательно, равны и левые части, т.е. = или х_к= х_l. Это означает взаимооднозначное соответствие значений случайных величин и , т.е. их функциональную зависимость. При этом заметим, что число значений случайных величин и должно быть одинаковым. Достаточность доказана, тем самым доказана и теорема.

Теорема 9.4. Если между случайными величинами X и отсутствует хотя бы одна из корреляционных связей, то статистический коэффициент корреляции r_XY равен нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть между случайными величинами X и отсутствует корреляционная связь на . Это означает, что при изменении значений случайной величины X распределение случайной величины остается постоянным, т.е. каждому значению х_i соответствует одно и тоже значение . Тогда, так как прямая регрессии на проходит через точку с координатами , то она параллельна оси Ох. А это значит, что ее угловой коэффициент b_Y/Х равен нулю. Из формулы же (9.12) получаем r_XY = 0.

Таким образом, при отсутствии корреляционной связи на r_XY = =0.

Аналогично можно показать, что если между случайными величинами отсутствует корреляционная связь на , то статистический коэффициент корреляции равен нулю.

Теорема доказана.

Теорема 9.5. Условие r_XY = ± 1 является необходимым и достаточным ус­ловием для совпадения регрессий Y на X и X на Y.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть прямые регрессий (9.15) и (9.16) совпадают. Тогда их угловые коэффициенты

должны быть равны:

(9.23)

Из соотношения (9.23) получаем равенство или , так как , что и доказывает необходимость.

Достаточность. Пусть статистический коэффициент корреляции = ± 1. Тогда уравнения прямых регрессий (9.15) и (9.16) примут вид:

,

Их можно переписать:

, ,

т.е. они определяют одну и ту же прямую на плоскости. Достаточность доказана, тем самым доказана теорема.

Из доказанных теорем следует, что если статистический коэффициент корреляции r_XY = ±1, то между случайными величинами X и Y существует ли­нейная функциональная связь, а если r_XY = 0, то линейная корреляционная связь отсутствует.

Для выяснения смысла r_XY, если он заключен в интервалах и , рассмотрим суммы квадратов отклонений между значениями ( х_i , у_i ) случайных величин X и Y, полученных из эксперимента, и значениями лежащими, например, на прямой регрессии Y на X, преобразовав их, не изменяя сущности.

Вначале рассмотрим преобразованную сумму квадратов отклонений по ординате:

.

Таким образом,

, (9.24)

и называется остаточной суммой квадратов, характеризующей рассеяние экспериментальных данных вокруг линии регрессии.

Аналогично, рассматривая преобразованную сумму квадратов отклоне­ний по абсциссе, получаем

(9.25)

Из выражений (9.24) и (9.25) следует, что если статистический коэффи­циент корреляции стремится по абсолютной величине к единице, то степень корреляционной связи между случайными величинами растет, сумма квадра­тов отклонений стремится к нулю. Это означает, что значения , теснее лежат около прямой регрессии Y на X, а значения — около прямой регрессии X на Y. Если же | | 0, то степень корреляционной связи уменьшается, так как сумма квадратов отклонений возрастает.

На основании выше изложенного можно сделать вывод: статистический коэффициент корреляции является мерой тесноты линейной корреляционной связи между случайными величинами X и Y.

Пример 9.2. По данным таблицы, приведенной в примере 9.1, вычислить статистический коэффициент корреляции.

Р е ш е н и е. При решении задачи с использованием прикладной программы, получаем статистический коэффициент корреляции = 0,765, значение которого свидетельствует о достаточно тесной корреляционной зависимости между удельным весом продукции высшей категории качества и фондоотдачей.

Вопросы для самопроверки

1. Какой показатель является мерой корреляционной связи между и ?

2. Перечислите свойства коэффициента корреляции.

3. Укажите расчетную формулу коэффициента корреляции.

4. Из какого равенства следует смысл коэффициента корреляции?