9.4. Оценка достоверности статистических коэффициентов корреляции и регрессии по выборочным данным

Статистические числовые характеристики: , , _X, , полученные из выборки, как известно, служат в качестве оценок для числовых характерис­тик теоретического распределения. Статистические коэффициенты корреляции и регрессии при нормальном распределении случайных ве­личин X и также можно рассматривать в качестве оценок для коэффициен­тов корреляции и регрессии _Y/X и _X/Y. При этом за оценку близос­ти, т.е. за оценку среднего квадратического отклонения r_ХX от _ХY, для боль­ших выборок берется величина . Это означает, что статистический коэффициент корреляции приближенно подчиняется нормально­му закону распределения с параметрами _XY и .

А статистические коэффициенты регрессий b_Y/X и b_X/Y распределены приближенно нормально с параметрами _Y/X , = и .

Чтобы построить доверительные интервалы для и , за­дадим доверительную вероятность и по таблицам нормального распределе­ния найдем такое число , чтобы

т.е.

Тогда

и .

Соответствующие доверительные интервалы для доверительной вероятности имеют вид:

Указанными доверительными интервалами можно пользоваться при боль­ших п (п > 50). Если же число наблюдений невелико (п < 50) и случайные величины X и Y распределены нормально, то используют преобразование Фишера:

; .

Известно, что величина U распределена приблизительно нормально с пара­метрами

Тогда доверительный интервал для эмпирического коэффициента корре­ляции r определяют из равенства

где удовлетворяет условию

т.е.

После несложных преобразований доверительный интервал для случая

п < <30 при доверительной вероятности примет вид

где

Для коэффициентов регрессий при небольших ( <30) вычисляют ве­личину

,

которая имеет распределение Стьюдента с п - 2 степенями свободы. Довери­тельные интервалы в этом случае имеют вид:

,

где находят по таблицам распределения Стьюдента с п - 2 степенями свобо­ды.

Пример 9.3. Определить доверительные границы для коэффициентов корреляции и регрессии генеральной совокупности по данным таблицы, приведенной в примере 9.1.

Р е ш е н и е. Для оценки коэффициентов корреляции и регрессии используем статис­тические коэффициенты корреляции и регрессии , вычисленные в примере 9.1. Согласно изложенному выше, 95 %-ные доверительные интервалы для будут следующими:

.

Выполнив элементарные вычисления, окончательно получим

0,648 0,882; 0,022 0,030, что соответствует утверждению о наличии корреляции. Это означает, что если рассмотреть большое число таблиц значений X и Y и для каждой из таблиц найти статистические коэффициенты корреляции и регрессии, то приблизительно 95% значений статистических коэффициентов содержалось бы в интервалах: (0,648; 0,882); ( 0,022; 0,030).

Статистический коэффициент корреляции r_XY вычисляют по результатам выборки, поэтому он является функцией выборки. Его значения для различ­ных выборок двумерной случайной величины отличаются друг от друга. Следовательно, статистический коэффициент корреляции представляет собой случайную величину с некоторым определенным распределением вероятностей. Поэтому при корреляционном анализе возникает вопрос о реальности связи, т.е. являются ли полученные из наблюдений коэффициенты корреляций зна­чимыми и не объясняется ли их получение случайностями выборки. Чтобы от­ветить на этот вопрос, нужно проверить нулевую гипотезу H₀ : 0 против одной из альтернативных гипотез H₁ : 0, или H₁ : 0, или H₁ : 0 . Критерием в этом случае служит статистический коэффициент корреляции r_XY . Для больших выборок критическая область имеет вид

,

где значение, найденное по таблицам нормального распределения для уровня значимости . Если значение r_XY окажется в этой области, то гипотезу отбрасывают. Если же объем выборки небольшой (n < 50), то вычисляется статистика t = , имеющая распределение Стьюдента с v = - 2 степенями свободы. Если , где критическое значение, определенное по таблицам распределения Стьюдента с уровнем значимости и числом степеней свободы v = п - 2, то нулевую гипотезу об отсутст­вии корреляционной зависимости случайных величин и Y следует отвергнуть.

Таким образом, если нулевая гипотеза H₀ : отвергается, то для оценки точности r_XY строятся доверительные интервалы.

Для проверки гипотезы о силе корреляционной связи, т.е. для проверки нулевой гипотезы при альтернативной гипотезе

вычисляют статистику

,

которая имеет распределение Стьюдента с v = - 2 степенями свободы. Если , нулевую гипотезу при уровне значимости следует отвергнуть. Если же , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу при уровне значимости .

Рассмотрим теперь оценку значимости статистического коэффициента регрессии эмпирического уравнения прямой регрессии:

или .

Так как нельзя указать заранее числовое значение параметра регрессии M(Y генеральной совокупности, то при экономических ис­следованиях выдвигают следующие гипотезы:

Н₀ : , т.е переменная X не оказывает существенного влияния на зависимую переменную Y;

Н₁ : , т.е переменная X оказывает существенное влияние на пере­менную Y.

При альтернативной гипотезе используется двусторонняя крити­ческая область.

Если же альтернативная гипотеза сформулирована в виде > 0 или < 0, т.е. имеется значимая положительная или отрицательная зависимость переменной Y от переменной X, то используется односторонняя критическая область. При этом должен быть известен знак параметра _Y/X рег­рессии.

При проверке гипотезы H₀ : _Y/X =0 используется статистика

,

которая имеет распределение Стьюдента с v = п - 2 степенями свободы. Тогда, если , нулевую гипотезу H₀ следует отвергнуть. Если же

, то оснований отвергать нулевую гипотезу, нет.

Проверка гипотезы имеет второстепенное значение, так как постоянная регрессии чаще всего лишена экономического смысла.

Пример 9.4. Проверим нулевую гипотезу против альтернативной по данным таблицы примера 9.1 при уровне значимости = 0,05.

Р е ш е н и е. Вычислим наблюдаемое значение статистики t:

.

Альтернативная гипотеза , поэтому критическая область - двусторонняя. Используя таблицу критических значений распределения Стьюдента по уровню значимости = 0,05 и числу степеней свободы , находим .

Так как , то нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции отвергаем, допуская ошибку лишь в 5% случаев. Коэффициент корреляции значительно отличается от нуля, следовательно, X и Y коррелированы.

Вопросы для самопроверки

1. Опишите процедуру построения доверительных интервалов для коэффициентов корреляции и регрессии.

2. Чем руководствуются при построении критической области?

3. Какие статистики используются при проверке гипотез о значимости коэффициентов корреляции и регрессии?

4. Как принимается решение о значимости коэффициентов корреляции и регрессии?