9.6. Статистическое корреляционное отношение и его свойства

В § 9.3 мы рассмотрели статистический коэффициент корреляции , который характеризует тесноту линейной корреляционной связи между случайными величинами X и Y .

Если же кривые регрессии отличаются от прямолинейной формы, то в качестве меры связи по данным выборки используют статистическое корреляционное отношение, предложенное Пирсоном.

Его определяют по сгруппированным данным, т.е. для каждого наблюденного значения случайной величины X вычисляют условное (групповое) среднее случайной величины Y , так как каждому значению случайной величины X соответствует условное распределение случайной величины Y:

где .

Аналогичные сгруппированные данные можно привести и для регрессии X на Y:

где .

Определение 9.3. Статистическим корреляционным отношением Y на X (X на Y) называется отношение средних статистических квадратов отклонений линии регрессии от соответствующих общих средних к статистическим средним квадратическим отклонениям

(9.32)

(9.33)

Для выяснения смысла статистических корреляционных отношений в нелинейной корреляции рассмотрим свойства этих чисел.

Теорема 9.6. Статистические корреляционные отношения неотрицательны и не превосходят единицы:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Статистические корреляционные отношения по определению 9.3 являются отношением неотрицательных чисел и, следовательно, неотрицательны.

Представим дисперсию случайной величины Y в виде:

Мы воспользовались равенствами

Тогда из равенства

(9.34)

следует неравенство , потому что . Разделив неравенство на , получим .

Извлекая квадратный корень и учитывая, что , получаем неравенство , которое и доказывает теорему при регрессии Y на X. Аналогично выводится и неравенство . Теорема доказана.

Теорема 9.7. Равенство нулю статистического корреляционного отношения является необходимым и достаточным условием отсутствия корреляционной связи между случайными величинами X и Y.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть между случайными величинами отсутствует корреляционная связь Y на X (для определенности, что не ограничивает общность рассуждений). Это означает, что все групповые средние , равны между собой и равны общей средней . Тогда числитель формулы (9.32) равен нулю и, следовательно, равно нулю статистическое корреляционное отношение .

Достаточность. Пусть статистическое корреляционное отношение . Тогда из формулы (9.32) следует

.

Так как , то для всех . Следовательно, для всех . А равенство всех групповых средних общей средней означает отсутствие корреляционной связи Y на X . Теорема доказана.

Теорема 9.8. Равенство единице статистического корреляционного отношения является необходимым и достаточным условием функциональной зависимости между случайными величинами X на Y.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть случайные величины X на Y связаны однозначной функциональной зависимостью. Тогда каждому значению случайной величины X соответствует одно значение случайной величины Y , которое при этом является и групповой средней:

(9.35)

Это означает, что в выборке (9.35) одинаковое число значений случайных величин X и Y и, следовательно, статистическая дисперсия равна межгрупповой дисперсии: , так как нельзя вычислить групповые статистические дисперсии.

Из последнего равенства следует, что как отношение двух равных неотрицательных чисел.

Достаточность. Пусть теперь (выбор , как легко заметить, не ограничивает общность рассуждений). Тогда из формулы (9.32) следует равенство , при сравнении которого с равенством (9.34) получаем, что среднее значение межгрупповых дисперсий

.

Это может быть, если межгрупповые дисперсии

что в свою очередь означает равенство для всех , т. е. все значения , одинаковые для значений . Другими словами, каждому значению случайной величины X соответствует единственное значение случайной величины Y, т. е. между X и Y существует функциональная зависимость. Теорема доказана.

Теорема 9.9. Статистические корреляционные отношения определенной выборки не меньше абсолютной величины статистического коэффициента корреляции:

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как статистический коэффициент корреляции определен только для прямолинейной регрессии, то и остановимся на прямолинейной регрессии Y на X (для определенности, что не ограничивает общности, так как для прямолинейной регрессии X на Y рассуждения проводятся аналогично). В § 9.2 мы показали, что прямая регрессии Y на X наилучшим образом, в смысле метода наименьших квадратов, отражает исследуемую регресионную зависимость. Это значит, что минимальное значение принимает сумма

(9.36)

которую можно переписать в виде

(9.37)

где

После упрощений равенство (9.37) можно записать:

(9.38)

Левая часть (9.38) неотрицательна, следовательно, . Так как , то . Извлекая квадратный корень и учитывая, что , получаем что и требовалось доказать.

Теорема 9.10. Для того чтобы регрессия была точно линейной, необходимо и достаточно, чтобы статистические корреляционные отношения равнялись статистическому коэффициенту корреляции

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть регрессия точно линейна. Тогда равна нулю сумма (9.36), так как все точки лежат на прямой

Но равна нулю и сумма (9.38), т. е.

Так как , то , или, извлекая квадратный корень и учитывая, что , получаем

Достаточность. Пусть статистическое корреляционное отношение равно модулю статистического коэффициента корреляции. Тогда

и, следовательно, при любом ,

. (9.39)

Из выражения (9.39) следует, что все точки лежат на прямой

А это означает, что регрессия точно линейна. Теорема доказана.

Доказанные теоремы и равенство

,

полученное из равенства (9.34) с помощью элементарных преобразований объясняют смысл статистических корреляционных отношений.

Статистические корреляционные отношения и служат мерой тесноты соответствующей корреляционной связи между случайными величинами X и Y , причем форма связи может быть любой (что является и преимуществом по сравнению со статистическим коэффициентом корреляции и недостатком, так как и нe учитывают особенностей формы связи). Причем, если или , то соответствующая связь случайных величин становится более тесной, так как средняя групповых статистических дисперсий стремится к нулю, а следовательно, и сами групповые статистические дисперсии стремятся к нулю, и в пределе при или получаем функциональную зависимость. При равенстве нулю и соответствующая корреляционная связь между случайными величинами отсутствует.

Пример 9.6. Вычислить статистическое корреляционное отношение по данным примера 9.5.

Р е ш е н и е. По определению 9.3 статистическое корреляционное отношение . Поэтому вычислим

Подставив значения

,

получим

Тогда и, значит, между случайными величинами X и Y существует достаточно тесная корреляционная зависимость вида .

Вопросы для самопроверки

1. Какой показатель используется в качестве меры корреляционной зависимости, если кривые регрессии отличаются от прямолинейной формы?

2. Перечислите свойства статистических корреляционных отношений.

3. Из какого равенства следует смысл статистических корреляционных отношений?