Интервал

В обычном пространстве расстояние  между двумя точками с координатами x_i, у₁, z₁ и x₂, у₂, z₂. определяется выражением

,

где x = x₂ ‑ x₁ и т. д. Это расстояние не зависит от выбора системы координат, т. е. является инвариантом. При переходе к другой координатной системе изменяются, вообще говоря, величины x, y и z, однако эти изменения таковы, что расстояние  остается одним и тем же.

Казалось бы, что расстояние (или, как принято говорить, интервал) между двумя мировыми точками в четырехмерном пространстве-времени должно определяться аналогичным выражением

,

где t = t₂ ‑ t₁ и т. д. Однако это выражение непригодно в качестве интервала, поскольку оно не является инвариантом — при переходе к другой инерциальной системе отсчета числовое значение этого выражения изменяется. Инвариантным, как мы покажем, является выражение

,

которое называют интервалом между событиями. Величина s является аналогом расстояния  между точками в обычном пространстве.

Причина того, что интервал определяется не выражением

,

а выражением

………… ,

заключается в том, что, как говорят, метрика пространства-времени отличается от метрики обычного трехмерного пространства. В обычном пространстве справедлива евклидова геометрия, вследствие чего его называют евклидовым. Качественное различие между временем и пространством приводит к тому, что в выражение для интервала квадрат временной координаты и квадраты пространственных координат входят с разными знаками. Пространство, в котором расстояние между точками определяется выражением вида , называется псевдоевклидовым. Его можно написать в виде

,

где  — расстояние между точками обычного пространства, в которых произошли данные события.

Допустим, что рассматриваются события, происходящие с одной и той же частицей. Тогда отношение /t дает скорость частицы v. Поэтому, вынеся из-под корня ct, получим, что

.

Мы получили выражение . Оно равно τ — промежутку собственного времени частицы между событиями. Таким образом, мы приходим к соотношению

s = c·τ.

Поскольку c — константа, а τ—инвариант, интервал s также оказывается инвариантом.

Преобразование и сложение скоростей

Компоненты скорости частицы v в системе K определяются выражениями

В системе K' компоненты скорости v той же частицы равны

Найдем формулы, связывающие нештрихованные компоненты скорости со штрихованными.

.

. =

.

Окончательно получим

Аналогично

Релятивистский импульс

Выражение, обеспечивающее инвариантность закона сохранения импульса, может быть получено, если вместо времени t подставить собственное время τ.

Тогда .

Релятивистское выражение для энергии

В релятивистской механике справедливым остается выражение

.

Это означает, что . Откуда видно, что сила не является инвариантной величиной. Кроме того, сила F и ускорение a не коллениарны.

Легко получить выражение для кинетической энергии.

Пусть тело (частица) ускоряется при прямолинейном движении вдоль постоянной силой F, работа которой будет трансформироваться в прирост кинетической энергии

,

причем мы не можем, как раньше, выносить m за знак дифференцирования как константу, потому что при v~c mconst. Поскольку , поменяем порядок дифференцирования по координате

Рассмотрим теперь подробнее релятивистское выражение для массы

Упростим последнее выражение:

m²c² – m²v² = m_o²c² m²c² = m_o²c² + m²v²

и продифференцируем с учетом условия m_o = const и c=const:

2c²mdm = 2mv²dm + 2m²vdv: 2m.

Получаем

с²dm = v²dm + mvdv.

Сравним правые части уравнений и приравняем левые части этих уравнений

dT = c²dm.

Проинтегрируем последнее равенство при учете, что при v=0 T=0, a m=m_o

Итак,

Понятно, что Е_о =m_oc² – энергия покоя тела, а mc² – полная энергия тела, а их разность Т и есть кинетическая энергия, энергия, обусловленная движением тела.

Следствия:

1. Выражение Е_о =m_oc², впервые полученное Эйнштейном, характеризует полный запас энергии, содержащийся в любом теле.

2. Из релятивистского соотношения кинетической энергии привычное может быть легко получено в предельном случае v0. Действительно, при v<<c

При релятивистском движении иначе выглядит и уравнение связи импульса частицы с её кинетической энергией

Энергия и импульс в релятивистской механике не сохраняются. Инвариантом является выражение: