1.2 Динамика поступательного движения. Законы Ньютона в классической механике

Роль законов Ньютона в физике необозримо велика. На основе ограниченного числа законов построена целая наука – механика, скоро 300 лет используемая человечеством в своей практической и научной деятельности.

Общей целью механики (а с небольшими оговорками – и всей физики) является создание методов решения задач типа: дана определенная физическая система в определенных внешних условиях; требуется найти, что произойдет с этой системой через какой-то промежуток времени.

Решение этой задачи разбивается на 3 этапа:

а) установление величин, описывающих состояние системы;

б) составление уравнений движения, описывающих изменение состояния во времени;

в) нахождение физических величин, опытное измерение которых дает возможность судить о том, что происходит реально с исследуемой системой.

В классической физике состояние простейшей системы – материальной точки массой m в данный момент времени полностью определяется её координатами x,y,z и компонентами скорости V_x,V_y,V_z или радиус-вектором частицы и её скоростью

Для составления «механических» уравнений движения в физике разработаны общие и достаточно простые методы, однако опять-таки требуется введение некоторых упрощающих предположений (моделей).

Одним из важных является представление об изолированной и замкнутой системах.

Система частиц (тел) называется замкнутой или изолированной, если каждая из частиц системы не взаимодействует ни с какими внешними телами. Например, с высокой точностью изолированной можно считать Солнечную систему, с некоторыми допущениями – систему «биллиардный стол +шары» и т.п.

Системы координат можно связывать с различными телами – это дело творческое, определяемое конкретной задачей и выбором метода ее решения. Но особо важный класс тел составляют свободные тела. Свободным называется тело, настолько удаленное от всех остальных тел, что их воздействие на движение данного тела пренебрежимо мало.

Вот для таких тел и справедлив принцип инерции Галилея, иначе называемый первым законом Ньютона:

существуют системы отсчета, в каждой из которых свободные тела движутся равномерно и прямолинейно. Такие системы отсчета называются инерциальными.

Иная формулировка:

Тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, если влияние внешних сил на него взаимно компенсировано.

Таким образом, состояние покоя ( в рассматриваемой системе координат) является частным случаем покоя. Поскольку любую инерциальную систему можно связать с некоторой совокупностью покоящихся друг относительно друга свободных тел, все инерциальные системы равноправны.

Перечислим возможные варианты инерциальных систем. Если установлено, что какая-то система координат инерциальна, то инерциальными будут системы со следующими отличиями от исходной:

а) начало координат сдвинуто на любое расстояние в любом направлении;

б) начало отсчета времени сдвинуто на любой промежуток;

в) тройка координатных осей повернута на любой угол относительно любой оси (координатной или произвольной);

г) начало отсчета движется равномерно и прямолинейно с любой скоростью (меньшей скорости света «с» в вакууме) в любом направлении.

Необходимо учитывать, что, например, вращение планеты Земля вокруг Солнца характеризуется ускорением 610^-3 м/с², а вращение Земли вокруг своей оси – ускорением в 310^-2 м/с² - и поэтому система координат, связанная с поверхностью Земли или ее центром (геоцентрическая), строго говоря, не может быть признана инерциальной. Она неприменима для расчета траекторий космических кораблей типа «Венера», «Пионер», «Вояджер» и т.п. Здесь более применима гелиоцентрическая система координат с началом в центре Солнца и с осями, направленными на «неподвижные» звезды. Вращение Земли приходится учитывать при расчете движения спутников, самолетов, морских судов, даже при анализе состояния берегов рек, текущих вдоль меридианов.

Из первого закона Ньютона следует важное заключение, что, поскольку изменение состояния покоя или равномерного движения связано с наличием в системе ускорения, последнее, в свою очередь, возникает как результат воздействия других тел. Это утверждение создает предпосылки для формулирования второго закона Ньютона.

Импульс, масса

Воздействие одного физического тела на другое характеризуется физической величиной, называемой силой. Сила, действующая на тело, сообщает ему ускорение. Величина полученного ускорения пропорциональна приложенной силе. Но разные тела под влиянием одинаковых сил приобретают разные ускорения. Данный опытный факт есть проявление уже упоминавшегося свойства инерции тела. Это свойство количественно характеризуется инертной массой тела — коэффициентом пропорциональности между приложенной к телу силой и полученным им ускорением.

Масса рассматривается как количественная мера инерционных свойств тел, их способности «сопротивляться» внешнему силовому воздействию.

Импульс тела Р определяется произведением массы тела на его скорость:

Импульс – величина векторная и совпадает по направлению с вектором скорости. Скорость тела зависит от выбора системы отсчета, относительно которой рассматривается движение тела, поэтому, определяя импульс, необходимо указывать систему отсчета.

Второй закон Ньютона

При рассмотрении второго закона Ньютона нужно учесть, что изолированная система – это всё-таки абстракция. Реальные системы, как правило, неизолированные. Например, пока не существует способов экранирования от сил тяготения, чрезвычайно трудно избавиться от влияния сил трения и т.д.

Пусть имеется некая неизолированная система. Тогда её импульс со временем будет обязательно изменяться.

Производная импульса частицы по времени называется силой, действующей на частицу со стороны её окружения.

Иначе быстрота изменения импульса частицы со временем численно равна внешней силе, действующей на эту частицу

Записанное выше соотношение и выражает второй закон Ньютона, один из фундаментальных законов физики.

Сила выполняет функцию количественной меры взаимодействия тел друг с другом. Сила будет полностью охарактеризована, если заданы её величина и направление, а также указано, на что и со стороны чего сила действует.

Его легко трансформировать к более широко известному (школьному) виду:

(1.1)

При решении практических задач широкое применение находит «импульсная» формулировка закона:

.

Здесь слева – импульс силы, справа – изменение импульса тела.

Необходимо заметить, что вынесение массы за знак дифференцирования, как константы, возможно лишь при малых скоростях движения, т.е. когда V<<c. Поэтому «ньютоновские» формулировки, описывающие изменение импульса являются более общими, в сравнении с школьной.

Третий закон Ньютона

Третий закон Ньютона имеет дело со взаимодействующими, телами. Он утверждает, что силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению. Важно подчеркнуть, что силы, о которых идет речь, приложены к разным взаимодействующим друг с другом телам.

Уравнения Ньютона обладают тем свойством, что некоторые величины, характеризующие движение частицы, остаются неизменными во все время движения. О таких величинах принято говорить, что они сохраняются. Их также называют интегралами движения. Знание интегралов движения позволяет получить ряд важных следствий без фактического решения уравнений движения. Рассмотрим тело или систему тел в отсутствие внешних сил. Система тел, на которую не действуют внешние силы (или векторная сумма этих сил равна нулю), является замкнутой. В этом случае F = 0; как видно из уравнения (1.1)

, (1.2)

т.е. величина , остается постоянной во все время движения. Полученный результат представляет собой закон сохранения импульса, который имеет место как для одного тела, так и для системы тел в отсутствие внешних сил.

Закон сохранения импульса пока не опровергнут ни в каких опытах: ни в макроскопической классической физике, ни в микромире, ни при релятивистских скоростях движения.

Для вывода третьего закона Ньютона рассмотрим изолированную систему, состоящую только из двух взаимодействующих тел. Полный импульс такой системы составляет . Продифференцируем это уравнение по времени и учтем закон сохранения импульса

Из второго закона Ньютона

где F₁₂ – сила, действующая со стороны второго тела на первое, а F₂₁ – сила, с которой первое тело действует на второе. Их еще называют силами действия и противодействия.

Мы получили третий закон Ньютона:

Следует учитывать, что третий закон Ньютона строго выполняется лишь для статических и контактных взаимодействий. Дело в том, что сигнал взаимодействия распространяется с конечной скоростью: в вакууме со скоростью света, в твердом теле – со скоростью продольной волны.