Центр инерции

Импульс замкнутой механической системы имеет различные значения по отношению к различным инерциальным системам отсчета. Если система отсчета K' движется относительно системы K со скоростью V, то скорости частиц v'_α и v_α в этих системах связаны соотношением v_α = v'_α + V . Поэтому связь между значениями P и P' импульса в этих системах дается формулой:

или

Всегда можно подобрать такую систему отсчета K', в которой полный импульс обращается в нуль. Положив P' =0, находим, что скорость этой системы отсчета

. (1.3)

Если полный импульс механической системы равен нулю, то говорят, что она покоится относительно соответствующей системы координат. Скорость V имеет смысл скорости движения механической системы как целого с отличным от нуля импульсом. Связь между импульсом P и скоростью V системы как целого такая же, какая была бы между импульсом и скоростью одной материальной точки с массой, равной сумме масс в системе, .

Правая сторона формулы (1.3) может быть представлена как полная производная по времени от выражения:

(1.4)

Можно сказать, что скорость V системы как целого есть скорость перемещения в пространстве точки, радиус-вектор которой дается формулой (1.4). Такая точка является центром инерции системы.

Закон сохранения импульса замкнутой системы можно сформулировать как утверждение о том, что ее центр инерции движется прямолинейно и равномерно. Это есть обобщение закона инерции для свободной материальной точки.

Виды фундаментальных взаимодействий

Как было установлено выше, уравнения движения в механике могут быть в самом общем виде представлены как

где - радиус-векторы;

- импульсы частиц;

- скорости частиц изучаемой системы с числом частиц N.

Тогда – функция состояния, которая определяется конфигурацией и свойствами силового поля, действующего на частицу с номером i. Таким образом, для получения уравнений движения необходимо знать природу взаимодействия данного тела со всеми другими.

По современным представлениям, всё многообразие явлений и сил, наблюдаемых во Вселенной, может быть сведено к 4 видам фундаментальных взаимодействий:

– гравитационное;

– слабое;

– электромагнитное;

– сильное (ядерное).

Фундаментальные взаимодействия расположены в порядке возрастания. В механике мы будем иметь дело лишь с силами, которые сводятся к гравитационным и электромагнитным взаимодействиям.

1.3 Работа и энергия

Физическая величина силы тесно связана с другой очень важной величиной – величиной работы. Из курса физики средней школы известно, что, если на частицу, движущуюся по прямой линии, действует сила F, направленная под углом  к направлению движения (рис.1.10), то работа силы при перемещении частицы равна

A = Frcos,

где r – перемещение тела.

F

 r

r

Рисунок 1.10 К понятию механической работы

В векторных обозначениях это выражение можно записать так:

,

здесь – скалярное произведение векторов

Единицей работы в Си является 1Дж = 1Н1м.

Записанные формулы справедливы только в случае постоянной силы и прямолинейного движения частицы.

Рассмотрим более сложный случай движения по бесконечно малому участку траектории произвольного вида, заключенному между бесконечно близкими точками пространства, описываемыми радиус-векторами (рис.1.11).

z

dr`

r` r`+dr`

F

y

x

Рисунок 1.11 Определение величины работы при движении тела по сложной траектории

Предположим, что в точке на частицу действует сила Вследствие малости перемещения мы можем пренебречь изменением силы на нем ( в противном случае ничто нам не помешает сделать более мелкое разбиение!). Кроме того, разбиение нужно продолжать до тех пор, пока сам участок пути не перестанет отличаться от вектора (т.е. пока касательная к траектории не совпадет с хордой дуги). Можно будет считать, что частица движется прямолинейно вдоль . Тогда к этому бесконечно малому отрезку можно применить формулу, определяющую величину элементарной работы, совершаемой силой F:

Работа на любом конечном участке траектории, заключенном между точками r_o` и r`, определяется суммой всех элементарных работ, производимых при данном перемещении.

Эта сумма равна

и называется интегралом работы.

Графически работу можно представить площадью под графиком F = F(r) (рис.1.12).

F

F(r)

A

0 r₀` r` r

Рисунок 1.12. К определению интеграла работы

Мощность

Мощностью называется работа, производимая в единицу времени.

Если перемещение осуществляется за время dt, то мгновенная мощность равна

Чаще определяют среднюю мощность и измеряют её в ваттах, 1Вт =1Дж/с.

Механическая энергия

Понятно, что получение механической энергии требует затраты некоторых ресурсов. Таким источником работы является запас энергии системы.

Энергией системы, в принципе, является запас работы, которую эта система может совершить (а может и не совершить).

При этом в механике различают потенциальную и кинетическую энергию.

Потенциальная энергия

Ранее мы установили, что работа силы вычисляется суммированием по многим точкам, т.е. по многим состояниям системы. В общем случае работа зависит от того, каким образом меняется состояние (изменение состояния системы называется процессом, так что работа является функцией процесса, это особенно ярко проявляется в термодинамике).

Если речь ведется о перемещении тела в пространстве, то в общем случае работа зависит от формы и длины траектории. Однако оказывается, что не всегда.

С уществуют силы, работа которых точно определяется лишь начальным и конечным состояниями частицы, и форма траектории на величину работы не влияет. Такие силы называются потенциальными или консервативными.

z

A B

r_o D

r₁

x

y

Рисунок 1.13 К определению понятия потенциального поля сил.

На рис.1.13 изображены участки АСВ и ADB двух траекторий, соединяющих одни и те же точки А и В. Если интеграл силы (работа) вдоль участка ADB совпадает с интегралом вдоль пути АСВ, то сила потенциальна (говорят иначе – поле сил потенциально). Если это не так, то сила относится к числу непотенциальных. Установлено, что потенциальными являются важнейшие фундаментальные силы – гравитационного и электростатического взаимодействия.

Так как работа, совершенная любой силой, может быть найдена в виде интеграла

а для случая потенциального поля сил совершенная работа не зависит от формы пути, зависит лишь от начального и конечного положений тела, можно ввести функцию U(r)-функцию координат, определяющую запас потенциальной энергии системы. Тогда совершенная системой работа по перемещению материального тела из точки с координатой в точку с координатой можно найти как разность значений функции U(r), т.е.

A = U(r) = U(r₁) – U(r_o) = U₂ – U₁.

Эта функция U, зависящая от свойств системы, создающей силовое поле и свойств перемещаемого тела (например, его массы, положения в пространстве и т.п.) – называется потенциальной энергией системы.

Работа потенциальной силы всегда равна со знаком минус изменению потенциальной энергии частицы при её перемещении из одного положения в другое.

Точный вид функции U зависит от конкретного силового поля и вида взаимодействия. Кулон, с учетом выбора граничных условий, при котором потенциальная энергия системы бесконечно удаленных друг от друга тел равна 0, предложил вид потенциальной функции Для важнейших силовых полей мы получим значение коэффициента  несколько позже.

Измеряется потенциальная энергия в тех же единицах, что и работа, т.е. в джоулях.

Связь силы и потенциальной энергии

Каждой точке потенциального поля сил соответствует, с одной стороны, некоторое значение силы F, действующей на тело, с другой стороны – некоторое значение потенциальной энергии U для данной конфигурации взаимодействующих тел. Следовательно, между и U должна существовать какая-то функциональная связь.

Вычислим элементарную работу dA, совершаемую силами поля при малом перемещении тела вдоль некоторого произвольного направления S.

,

где F_r = Fcos  - проекция силы на направление перемещения.

Работа эта совершается за счет запаса потенциальной энергии системы и равна убыли потенциальной энергии (-dU), т.е.

dA = - dU(r) или F_rdr = -dU.

Откуда или в векторной форме

Если отрезок произвольно ориентирован в трехмерном пространстве, то величину силы можно определить параметрически:

В векторном виде это равенство можно записать еще так

,

где - орты осей координат x,y,z.

В математике вектор называется градиентом скалярной величины «а». Этот вектор направлен в сторону максимально быстрого увеличения скалярной величины «а».

В нашем случае сила (векторная величина) есть градиент потенциальной энергии – величины скалярной. Знак “ – “ указывает, что вектор силы направлен в сторону убывания потенциальной энергии U.

Иные обозначения

Важное замечание: прибавление постоянной во времени величины к потенциальной энергии не изменяет картины силового воздействия данного силового поля на данную частицу (тело) (вследствие операции дифференцирования).

Следовательно:

а) выбор уровня, с которого производится отсчет величины потенциальной энергии – произвольная операция, допускающая удобный выбор;

б) строго определенный физический смысл имеет не фиксированное значение потенциальной энергии, а её изменение в данном процессе – приращение или убыль.

Потенциальная энергия упругой деформации

Из вида силы межатомного взаимодействия и из связи силы с потенциальной энергией

– следует, что после интегрирования функции, описывающей межатомное взаимодействие

может быть получено выражение для потенциальной энергии той же системы:

называемое в физике потенциалом Г.Ми, где А и m – параметры, описывающие силы притяжения, а В и n – описывающие силы отталкивания, причем n>m.

Графики рис.1.14 комментируют соотношение сил взаимодействия и потенциальной энергии для двухчастичного взаимодействия.

Естественно, использование скалярной величины потенциальной энергии удобнее, чем использование векторной величины силы. Это особенно заметно при анализе многочастичных взаимодействий.

На равновесном расстоянии r_o потенциальная энергия имеет экстремум – минимум, в это состояние (в « потенциальную яму») система самопроизвольно стремится, будучи предоставлена самой себе. Смещение любого из атомов в сторону сближения или удаления от соседей соответствует возникновению возвращающей силы.

f(r) +F (отталкивание) силы отталкивания

силы притяжения

U(r) F(r) результирующая сила

r _o r потенциальная энергия

-F(притяжение)

Рисунок 1.14. Связь потенциальной энергии и силы для двухчастичного взаимодействия

Рассмотрим вновь деформацию одномерной цепочки атомов:

Рисунок 1.15 К понятию потенциальной

r_o энергии упругой деформации.

F f_упр F

r_o+х

Смещение «х» может быть вызвано силой упругости, по закону Гука равной

f_упр = - kx.

Знак «минус» лишь означает, что сила всегда направлена к положению равновесия, т.е. против смещения «х». Численное значение силы определяется как

f_упр= kx.

Следовательно, величине коэффициента упругости k может быть присвоен следующий физический смысл:

“k” численно равно силе, которую нужно приложить к телу, чтобы изменить его длину на единицу длины (м или см).

Тогда работа упругой силы может быть определена следующим образом:

dA = f(x)dx = kxdx.

Эта работа расходуется на изменение (прирост) потенциальной энергии системы взаимодействующих атомов

A = U(r) – U(r_o) = U.

Следовательно, запас потенциальной энергии, сообщенный упруго деформированному телу при его деформации на величину “х”, равен

Заметим в заключение, что потенциальными силами с центральной симметрией являются также силы межатомного и межмолекулярного взаимодействия. Другие фундаментальные силы (в частности, ядерные) не обладают центральной симметрией.

Кинетическая энергия

Выше подчеркивалось, что механическая работа, которую может совершить физическая система, определяется разностью энергий системы в конечном и начальном состояниях

Работа, которую система (тело) может совершить вследствие изменения состояния своего движения, характеризует кинетическую энергию системы (тела).

Определяющими параметрами здесь являются скорость и импульс тела.

Пусть под действием некоторой силы F тело массой m = const при прямолинейном движении увеличило свою скорость от v₁ до v₂ (рис.1.16). Сила в общем случае может изменяться от точки к точке, т.е. F = F(S).

F v₁ F v₂

S

Рисунок 1.16 К выводу кинетической энергии

Разбиваем участок S на отрезки dS, достаточно малые, чтобы считать F = const. Тогда Учитывая, что – мгновенное значение силы на отрезке dS, получаем, после замены порядка дифференцирования по однородному параметру S:

.

Поскольку в начальный момент времени скорость была равна v₁, а в конце стала равной v₂, то

и есть кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью v.

Если учесть, что mv = p – импульс тела, то можно получить

, откуда, кстати,