2. Расчет подшипников с газовой смазкой

2.1. Общие уравнения газовой смазки

С теоретической точки зрения смазка газом сводится к изучению движения газа, т.е. вязкой сжимаемой жидкости, в тонком слое переменной толщины (рис. 2.1). Уравнения газовой смазки выводятся из общих уравнений движения вязких сжимаемых жидкостей. Эти уравнения являются следствием физических свойств газов и законов механики и термодинамики.

y

v_2r

v_2 h

o v_1r r

v_1

Рис. 2.1. Расположение осей координат на двух поверхностях,

ограничивающих смазочный слой

Собственно уравнения движения являются записью уравнений механики сплошных сред для случая ньютоновских жидкостей. Они выражают динамическое равновесие элементарной частицы жидкости, т.е. равновесие действующих на частицу сил инерции, массовых сил и напряжений. Эти уравнения, известные в гидромеханике под названием уравнений Навье-Стокса, имеют вид [80]:

(2.1)

Здесь – компоненты внешних сил, отнесённые к единице массы.

Уравнения движения существенно упрощаются, если учесть допущения классической теории смазки:

общепринятое допущение в задачах динамики вязкого газа о пренебрежимой малости массовых сил [80], так как масса частицы газа очень мала, т.е.

силами инерции смазки можно пренебречь [144];

при движении газа в тонком слое компоненты u, v,  скорости частицы газа – величины разного порядка, так как скорость v, направленная по нормали к поверхности подшипника, значительно меньше (в раз) компонентов u и .

В результате уравнения движения газа в смазочном слое можно записать следующим образом [80]:

,

(2.2)

В цилиндрических координатах эти уравнения движения будут иметь вид

    . (2.3)

Если вязкость считать постоянной по толщине слоя h, то

(2.4)

Из этих уравнений легко можно найти распределение скоростей u и ω в смазочном слое, если известны граничные условия. При определении граничных условий для скоростей газа в смазочном слое подшипника полагают, что в точках поверхностей, ограничивающих смазочный слой (рис. 2.1), скорости частиц газа и поверхности одинаковы по величине и направлению, т. е.

при y = 0

при (2.5)

Проинтегрируем по y первое из уравнений движения (2.4):

Интегрируя второй раз получим

u =

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий (2.5)

при y = 0 u = v ;

при y = h

В результате получим распределение скорости u по толщине смазочного слоя

(2.6)

Интегрируя по y третье уравнение из уравнений (2.4), получим распределение скорости ω:

при y = 0

при y = h (2.7)

Для определения давления газа в каждой точке смазочного слоя к уравнениям движения необходимо добавить уравнение неразрывности, уравнение состояния и уравнение энергии. Уравнение неразрывности выражает постоянство массового расхода жидкости между двумя поверхностями подшипника.

В декартовой системе координат уравнение неразрывности можно записать в виде [80]

В цилиндрической системе координат уравнение неразрывности имеет вид

(2.8)

Это уравнение можно записать в интегральной форме. Умножим левую и правую части на dy и проинтегрируем в пределах от 0 до h:

или

(2.9)

Известно, что

а

,

поэтому уравнение (2.9) можно записать в виде

(2.10)

+

Уравнение состояния Клайперона-Менделеева определяет взаимосвязь между параметрами газа

(2.11)

Изменение состояния газа в смазочном слое описывается уравнением политропного процесса

(2.12)

где n – показатель политропы.

Показатель политропы является переменным, но пределы его изменения довольно ограничены, лежат между адиабатой и изотермой , что позволяет принимать некоторое среднее постоянное значение n.

Уравнение энергии выражает зависимость между энергией частицы жидкости, механической работой внешних сил и напряжений и потоком тепла. Его можно получить из первого закона термодинамики и записать следующим образом:

или

где – изохорная теплоемкость, – изобарная; коэффициент теплопроводности; – тепло, выделяемое внутренним источником, например, химической реакцией; – диссипативная функция.

Если смазка осуществляется не реагирующими между собой газами, то Qt=0.

В цилиндрических координатах уравнение энергии имеет вид

,

где

Из-за небольшой вязкости газов изменение температуры в смазочном слое незначительно. Многочисленные эксперименты показывают, что в подавляющем большинстве реальных подшипников течение газа в смазочном слое является практически изотермическим. Поэтому уравнение энергии и уравнение состояния можно заменить одним уравнением [80]

(2.12)

Таким образом, уравнения движения в смазочном слое (2.4), уравнение неразрывности (2.10) и уравнение (2.12) образуют систему четырех независимых уравнений с четырьмя неизвестными u, , P, .

Компонента  скорости в направлении оси y в эти уравнения не входит, если силами инерции пренебрегают.

Уравнение, содержащее в качестве неизвестной функции только давление, можно получить, если в уравнение неразрывности, записанное в интегральной форме (2.10) подставить зависимости (2.6), (2.7), полученные для распределения компонентов u и  скоростей в направлении осей r и  соответственно. При этом следует учесть, что  не зависит от y, так как p не зависит от y.

(2.13)

В этом уравнении

Поэтому уравнение (2.13) можно записать в виде

или

так как

получим уравнение

r

или

Исключив плотность при помощи уравнения политропы ( = P C, где C = const), получим дифференциальное уравнение, содержащее в качестве неизвестной функции только давление:

. (2.14)

В стационарных режимах в осевых подшипниках обычно

_1r = _2r = _1y = _2y =_2 = 0.

В стационарном режиме также а _1 = r, где  – угловая скорость цапфы. Поэтому уравнение (2.14) упрощается и приобретает вид

Так как температура в смазочном слое постоянная (процесс изотермический), вязкость газа не изменяется, получим следующее уравнение для распределения давления в смазочном слое осевого подшипника:

(2.15)

Если известны граничные условия для давления (обычно это давление на границах подшипника), геометрия смазочного слоя и подшипника, вязкость газа и скорость цапфы, то можно решить прямую задачу газовой смазки, определив при решении уравнения (2.15), как распределяется давление в смазочном слое подшипника.

При известном распределении давления определение интегральных характеристик подшипника (несущей способности, расхода газа на смазку, мощности трения и т.п.) не представляет особого труда.

Сложнее решение обратной задачи газовой смазки – определение геометрии смазочного слоя, при которой подшипник с учетом накладываемых ограничений имел бы наибольшую несущую способность или жесткость, наименьшее трение, наименьший расход газа на смазку и т.п. Простой перебор решений уравнения распределения давления для различных форм смазочного зазора довольно трудоемок. Для оптимизации формы смазочного слоя желательно использовать специальные методы оптимизации, опирающиеся на методы вариационного исчисления или теории оптимального управления.

На практике при проектировании подшипников обычно приходится одновременно определять геометрию смазочного слоя и всего подшипника, а также интегральные характеристики подшипника по заданным нагрузкам и параметрам газа, подаваемого на смазку.

2.2. Расчет осевых лепестковых газодинамических подшипников

Конструктивная схема осевого лепесткового газодинамического подшипника со взаимно перекрывающимися лепестками показана на рис. 2.2. Масштаб по толщине зазора лепестков существенно увеличен.

При общепринятых в теории газовой смазки допущениях уравнение распределения давления в смазочном слое осевого подшипника выведенное в параграфе 2.1, имеет вид

,

где r – радиальная координата,  – угловая координата, h – толщина смазочного зазора, P – давление,  – динамическая вязкость газа,  – угловая скорость.

Рис. 2.2. Конструктивная схема осевого лепесткового газодинамического

подшипника:1– плата, 2 – паз установочный, 3 – лепесток, 4 –  пята, 5 –  корпус

Это уравнение можно записать следующим образом:

(2.16)

Если зазор в подшипнике изменяется и по углу и по радиусу, то уравнение (2.16) можно преобразовать к виду

(2.17)

Произведем замену переменных в уравнении (2.17) и перейдем к уравнению (2.19) в безразмерном виде. При этом безразмерные величины будем записывать с чертой над символом:

P = h = ,

где – давление на краях подшипника; ₀ – толщина лепестка; R₂ – наибольший радиус подшипника.

Производные, входящие в уравнение (2.17), можно записать в виде

(2.18)

Уравнение в безразмерном виде

(2.19)

Разделив все члены уравнения (2.19) на получим

(2.20)

Производные, входящие в уравнение (2.20), аппроксимируем трехточечными центральными разностями

где i – номер линии сетки, проходящей по окружности; к – номер линии сетки, проходящей по радиусу.

Проведя алгебраические преобразования, получим систему конечноразностных уравнений распределения давления в смазочном слое подшипника

(2.21)

(2.22)

Разделив все члены уравнения (2.22) на получим

(2.23)

Для решения уравнения (2.23) необходимо знать граничные условия. Обычно это давление на краях подшипника. В безразмерной форме его можно выразить как

(2.24)

Решая систему конечно – разностных уравнений (2.23) последующими интеграциями методом Зейделя до удовлетворения граничным условиям (2.24), можно определить давление во всех узлах сетки.

При известном распределении давления можно вычислить интегральные характеристики подшипника: несущую способность, силу, момент и мощность трения, расход газа, жесткость.

Несущая способность равна

где N – количество лепестков в подшипнике, – угловая протяженность лепестка.

Несущая способность подшипника выраженная через безразмерные переменные

При численном интегрировании при известных давлениях в узлах сетки

Коэффициент несущей способности

Коэффициент несущей способности, учитывающий давление окружающей среды, действующее на противоположную сторону пяты

Элементарный момент сил трения, действующий со стороны смазочного слоя на произвольный элемент площади типа rdrd [144]

где _ – окружная составляющая касательного напряжения на рабочей поверхности шипа.

Согласно закону Ньютона о линейной связи между тензорами напряжений и скоростей деформации движущихся жидких и газовых объемов [101]

Касательные напряжения, а следовательно и моменты трения на шипе (y = 0) и на подшипнике (y = h) в общем случае не равны, так как производная имеет различные значения на соответствующих поверхностях (см. формулу (2.7).

Момент сил трения, действующий со стороны смазочного слоя на шип в ЛГП

Мощность, затрачиваемая на преодоление сил трения

N_т = M_т .

Если перейти к безразмерным переменным,

Переходя к конечным разностям получим,

На несущую способность существенное влияние оказывает толщина смазочного зазора и его профиль. Газодинамические подшипники могут иметь значительную несущую способность, достаточную для многих быстроходных турбомашин, но при очень малых зазорах, порядка 10 мкм и меньше. Обеспечить на практике работоспособность машин с такими зазорами в подшипниках, применяя обычные подшипники скольжения с недеформируемыми втулками, очень сложно. Требуются высокая точность изготовления деталей, высокая чистота смазки, жесткие ограничения на температурные расширения.

Применение упругодеформируемых лепестков существенно облегчает задачу обеспечения работоспособности.

При проектировании подшипника весьма важно знать оптимальную форму профиля смазочного зазора и уметь выполнить эту форму, выбирая ту или иную конструкцию подшипника.

При отсутствии деформации лепестков профиль смазочного зазора в подшипнике (рис. 2.2 ) клиновидный. Зазор на линиях сетки будет определяться формулой

(2.25)

где K – количество интервалов сетки, проходящих по радиусу; k – номер линии сетки, k = 0 для первой линии, отсчитываемой по направлению скорости  (при h = h₁); h₁ – максимальный зазор (в начале лепестка); h₂ – минимальный зазор.

В соответствии с рис.2.2

h₁ = h₂ + 2₀ ,

где ₀ – толщина лепестка.

При достижении определенных давлений в смазочном слое лепесток начинает прогибаться и профиль смазочного зазора изменяться. Если лепесток прогибается, но пята при этом остается на месте, то

где _к^ – прогиб лепестка.

Прогиб лепестка под действием сил давления в смазочном слое можно определить, используя законы теории упругости. Приближенно лепесток можно рассматривать как множество параллельных балок, равных числу линий сетки I, параллельных окружности.

На рис. 2.2 показан лепестковый газодинамический подшипник с перекрывающимися лепестками. При таком расположении лепестков возможны два варианта расчетных схем с шарнирной опорой в начале координат (рис. 2.3, а) и с жесткой заделкой начала лепестка(рис. 2.3, б).

Зная из решения уравнения (2.23) давления в узлах сетки

можно определить силы, действующие на лепесток в этих точках.

Так как с обратной стороны лепестка действует давление окружающей подшипник среды , то сила, действующая в узле сетки и деформирующая лепесток, может быть определена произведением избыточного давления на площадь элемента сетки.

где – площадь элемента сетки; – шаг сетки по радиусу; – шаг сетки по окружности; I – число интервалов сетки, проходящих по окружностям; K – число интервалов сетки, проходящих по радиусу; N – количество лепестков.

В дальнейших расчетах можно считать, что в узлах сетки действуют сосредоточенные силы Q.

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

(2.26)

где E – модуль упругости материала лепестка; – момент инерции поперечного сечения (рис. 2.3, в); M – изгибающий момент.

Проинтегрировав дважды уравнение (2.26) можно получить уравнение прогибов балки (2.27)

где ₀' – прогиб в начале координат; ₀ – угол поворота балки в начале координат; M₀ – изгибающий момент в начале координат; Q₀ – сила, действующая на балку в начале координат; Q – сила действующая на балку; а_к – координата приложения силы.

Для расчетной схемы (рис. 2.3, а) можно найти реакции опор из уравнений статики

,

(2.28)

где B = – сумма моментов сил давления на участке 1 от 0 до b, относительно точки А, – сумма моментов сил давления на участке 11 от b до RӨ₁ относительно точки А,

– сумма моментов сил давления на участке 1 от 0 до b относительно точки B, – сумма моментов сил давления на участке 11 от b до RӨ₁ относительно точки В, а_к – координата действия соответствующей сосредоточенной силы на участке 1 от 0 до b, с_к – координата действия соответствующей сосредоточенной силы на участке 11 от b до RӨ₁ (см. рис. 2.3, а).

Из уравнений (2.28) R_b = (B + C)  b; R = (D – E)  b.

Уравнение  прогибов  балки (2.29)

где Q₀ = .

1 R_в 11q(x)

R_a поперечное сечение

балки

t

A

B

a_к b

b

c_к

R₁

a) в)

1 R_в 11

R_a

A а_к В

М₀ b

с_к

R₁

б)

Рис. 2.3. Расчётные схемы лепестка

Угол поворота балки в начале координат ₀ можно определить из условия, что при x = b, ' = 0. При этом первый и последний члены уравнения прогибов будут равны нулю

(2.30)

Для расчетной схемы (рис. 2.3, б) можно найти реакции опор из уравнений статики

(2.31)

(2.32)

Уравнение прогибов, учитывая, что в защемлении ₀=0,

(2.33)

где Q₀ = R .

Так как при x = b, ' = 0 уравнение (2.33) можно записать

,

отсюда

Подставляя значение R_а в уравнение (2.32), получим

Из уравнения (2.31)

Уравнение прогибов

(2.34)

При достижении определенных давлений в смазочном слое лепесток начинает прогибаться и профиль зазора изменяться. В предельном случае, когда лепесток под действием сил давления полностью выжмется, смазочный слой можно рассматривать состоящим из двух участков. На первом по направлению скорости шипа участке зазор клиновидный, на втором – равномерный. Граница между участками проходит по линии сетки с номером K1.

Зазор на линиях сетки первого участка в этом случае можно определить по формуле

где h₁ = ₀ + h₂ – зазор в начале участке, h₂ – зазор в конце участка.

Зазор на линиях сетки с номерами k  K1

h_к ^'' = h₂ .

При проектировании ЛГП весьма важно знать оптимальную форму смазочного зазора, уметь выполнять эту форму, выбирая ту или иную конструкцию подшипника, а также уметь согласовывать между собой жёсткость смазочного слоя и жёсткость пакета лепестков.

На рис. 2.4 показана зависимость коэффициента несущей способности подшипника от параметра L = R₂²₀² P_a при клиновидном смазочном зазоре и клиновидно-равномерном с границей между участками по середине лепестка. Для обоих подшипников несущая способность возрастает с увеличением параметра L. Увеличить параметр L наиболее просто за счет уменьшения толщины лепестка ₀. Минимальное значение толщины лепестка определяется его прочностью. Лепесток должен безаварийно выдерживать действие сил сухого трения в момент пуска и остановки ротора.

Рис. 2.4. Зависимость коэффициента несущей способности от параметра L:

При переходе от клиновидного зазора к клиновидно-равномерному несущая способность подшипника увеличивается в 2 раза и более.

На рис. 2.5 показана зависимость коэффициента несущей способности лепестка с клиновидно – равномерным профилем смазочного зазора от расположения границы между участками. Явно выраженный максимум несущей способности наблюдается у подшипника с отношением длины клиновидного участка к длине всего лепестка равном 0,5.

Для обоих типов подшипников несущая способность возрастает с увеличением параметра L. Увеличить этот параметр наиболее просто за счет уменьшения толщины лепестка ₀ . Минимальное значение толщины лепестка определяется его прочностью. Лепесток должен безаварийно выдерживать действие сил сухого трения в момент пуска и остановки ротора.

Рис. 2.5 Зависимость коэффициента несущей способности от

протяжённости клиновидного участка

Программа расчета осевых лепестковых подшипников с перекрывающимися лепестками с учетом прогиба лепестков, составленная на языке программирования СИ, представлена в приложении А. Блок-схема программы показана на рис. 2.6.

Распределение давления в смазочном слое подшипника, определённое по этой программе, представляется в виде, показанном на рис.2.7.

ПУСК

Ввод исходных параметров

Задание начальных значений

зазоров

Расчёт давления в узлах сетки

нет Проверка точности

определения давления

Расчёт прогибов лепестка

Определение новых зазоров

Проверка точности нет

определения зазоров

Расчёт несущей способности,

момента, мощности трения

Вывод значений на печать

СТОП

Рис. 2.6. Блок-схема программы расчёта осевых ЛГП

Рис. 2.7. Распределение давления по лепестку: зазор клиновидно-равномерный

На рис. 2.8. показана зависимость коэффициента способности подшипника от количества лепестков для различных значений внутреннего радиуса подшипника, т.е. для кольцевых подшипников различной ширины.

Рис. 2.8. Зависимость коэффициента несущей способности от количества

лепестков: зазор – клиновидный, L = 9,42; = 0,1; = +1

Существует оптимум по количеству лепестков, причем для каждой ширины кольца он свой. С уменьшением количества лепестков возрастает протяженность клина и это вызывает рост давления в смазочном слое. Уменьшение количества лепестков вызывает также уменьшение зон падения давления на радиальной границе лепестка на его конце, так как этих границ в подшипнике становится меньше. Все это обусловливает рост несущей способности подшипника. Но при уменьшении количества лепестков в подшипнике возрастает протяженность окружных границ лепестка. При этом возрастают потери давления за счет утечек газа через окружные границы. Давление газа в смазочном слое падает, несущая способность подшипника уменьшается. Причем при малых значениях ширины кольца (больших внутренних радиусах) протяженность окружной внутренней границы больше и этот эффект сказывается сильнее. Поэтому для подшипников c , L = 9,42 оптимальная протяженность клина получается при 2 – 3 лепестках на плате (4 – 6 в подшипнике), для подшипников с оптимальная протяженность клина при 4 – 5 лепестках, а для подшипников с оптимальная протяженность клина будет при 8 лепестках.

На рис. 2.9. показана эта же зависимость но для подшипников с большим углом клина. Качественно характер зависимости не изменился, а оптимальное количество лепестков уменьшилось. Объясняется это тем, что в данном случае больший угол клина получен за счет большей толщины зазора в начале клиновидного участка. В результате подшипник имеет большую среднюю толщину смазочного зазора и более низкое давление в смазочном слое. При этом падение давления к торцам подшипника уменьшается и оптимальная протяженность клиновидного участка увеличивается. На этом же рисунке показана зависимость коэффициента несущей способности подшипника от количества лепестков при меньшем значении параметра L. Качественно характер зависимостей не изменился, но оптимальное количество лепестков изменилось. Так для подшипника с при L   оптимальное количество лепестков – два, а для подшипника с шесть лепестков. Объяснить это можно тем, что с уменьшением параметра L давление в смазочном слое уменьшается, падение давления к окружным границам лепестка уменьшается и увеличение протяженности окружных границ на несущую способность подшипника сказывается меньше.

При переходе от клиновидного смазочного зазора к клиновидно-равномерному, с границей между участками по середине логично предположить, что оптимальное количество лепестков в подшипнике вдвое меньше, так как протяженность клиновидного участка лепестка при этом уменьшается также в два раза. И чтобы сохранить оптимальную протяженность клиновидного участка нужно в два раза увеличить протяженность лепестка, а это достигается уменьшением количества лепестков подшипников в два раза. Графики на рис. 2.10 – 2.12 полностью подтверждают это предположение.

Рис. 2.9. Зависимость коэффициента несущей способности от количества

лепестков: = 0,1; = +2; зазор клиновидный

Рис. 2.10. Зависимость коэффициента несущей способности от количества

лепестков: L = 9,42; =0,1; = +1; зазор клиновидно – равномерный

На рис. 2.13 – 2.15 показаны зависимости коэффициента несущей способности от относительной длины клиновидного участка для различных подшипников.

Для каждого подшипника существует свое оптимальное значение относительной длины клиновидного участка. С увеличением количества лепестков в подшипнике оптимальное значение относительной длины клиновидного участка увеличивается.

На рис. 2.16 показана зависимость мощности, затрачиваемой на преодоление сил трения в подшипнике от числа лепестков. Для клиновидного зазора мощность трения существенно ниже чем для клиновидно - равномерного.

На рис. 2.17 показана зависимость коэффициента несущей способности от параметра L для подшипника с с клиновидно – равномерным зазором при различных давлениях на границах подшипника. При принятых в работе безразмерных параметрах никакого влияния давление на границах подшипника на коэффициент несущей способности не оказывает, так как безразмерное давление на границах не изменяется и остается равным =1. Несущая способность подшипника зависит от давления на границах прямо пропорционально. Так как давление на границах входит в параметр L, то для сохранения неизменным параметра L и необходимо изменять толщину лепестка и минимальный зазор, что существенно увеличивает требования к точности изготовления и сборки подшипниковых узлов, а также к условиям эксплуатации машин с такими подшипниками.

Целесообразно ЛГП проектировать таким, чтобы при пуске форма смазочного зазора обеспечивалась клиновидной. С ростом оборотов ротора и ростом нагрузки на подшипник форма зазора от клиновидной должна за счет деформации лепестков переходить к клиновидно-равномерной. Количество лепестков в подшипнике для получения максимальной несущей способности и минимальных потерь на трение должно быть небольшим. Для получения максимальной несущей способности должна быть минимальной толщина лепестка. Но при этом для реальных машин жесткость лепестка становится существенно меньше жесткости смазочного слоя.

Рис. 2.11 Зависимость коэффициента несущей способности от количества

лепестков: L = 3,39; = 0,1; = +1; зазор клиновидно-равномерный

Рис. 2.12 Зависимость коэффициента несущей способности от количества

лепестков: = 0,1; = +2; зазор клиновидно-равномерный

Рис. 2.13 Зависимость коэффициента несущей способности от протяженности клиновидного участка: =0,25; зазор клиновидно-равномерный

Рис. 2.14 Зависимость коэффициента несущей способности от относительной длины клиновидного участка: =0,5; зазор клиновидно-равномерный

Рис. 2.15 Зависимость коэффициента несущей способности от относительной длины клиновидного участка: = 0,75; зазор клиновидно-равномерный

Рис. 2.16. Зависимость мощности трения от количества лепестков:

=0,5; =0,1; зазор клиновидно – равномерный

Рис. 2.17. Зависимость коэффициента несущей способности от

параметра L при различных давлениях на краях подшипника

Одновременно выполнить необходимые требования для получения максимальной несущей способности подшипника и добиться согласования между собой жесткости смазочного слоя и жесткости лепестков осевых ЛГП с перекрывающимися лепестками – невозможно. Перспективны подшипники с элементами выполняющими различные функции. Лепесток, контактирующий с цапфой, должен быть тонким, антифрикционным, а необходимую жесткость пакета лепестков можно обеспечить за счет подложки.

2.3. Расчёт двухрядных радиальных подшипников

с наддувом газа

Для многих турбомашин с относительно тяжёлыми роторами перспективны двухрядные цилиндрические опорные подшипники с наддувом газа (см. рис. 1.21). Уравнение для распределения давления в смазочном слое такого подшипника можно записать в виде [80]

(2.36)

где – толщина смазочного слоя;

– давление газа в слое;

– динамическая вязкость;

– радиус цапфы;

– угловая скорость цапфы;

– декартовые координаты.

Это уравнение часто называют уравнением Рейнольдса для газовой смазки.

Если произвести замену переменных и перейти к безразмерным относительным величинам, то уравнение (2.36), учитывая, что в цилиндрических подшипниках толщина смазочного слоя является функцией только z и не зависит от x, можно записать в виде

, (2.37)

где – ; ; ; ;

– давление газа, подаваемого на смазку;

– радиальный зазор при концентрическом положении цапфы в подшипнике;

– 1/2 длины подшипника.

Для решения этого дифференциального уравнения в частных производных необходимо знать граничные условия. Одним из граничных условий являются обычно известные давления на торцах подшипника

, (2.38)

где – давление на торце подшипника.

Другими граничными условиями уравнения (2.37) являются величины давления в смазочном зазоре подшипника на кромках отверстий наддува, которые зависят от расхода газа через отверстия наддува. Эти величины обычно в начале проектирования неизвестны. Чтобы решить уравнение (2.37), необходимо предварительно определить их. Для упрощения этой задачи все отверстия наддува, расположенные в одном ряду, заменяются эквивалентной по расходу щелью наддува, называемой "линией наддува" [222-225].

Массовый расход при изоэнтропийном истечении газа через линию наддува на единицу её длины рассчитывается по формуле

, при ; (2.39)

, при ,

где – критический расход газа через один ряд отверстий наддува,

– коэффициент расхода через отверстия наддува,

– количество отверстий наддува в одном ряду,

– показатель адиабаты газа,

– плотность газа, подаваемого на смазку.

На линиях наддува основное уравнение (2.37) несправедливо. Для определения давления на них воспользуемся уравнением баланса массовых расходов газа через кольцевой зазор и отверстия наддува[80]

, (2.40)

где и – производные на линии наддува соответственно до и после линии наддува. Давление и плотность при переходе через линию наддува, в отличие от производных, не имеют разрыва.

Уравнения (2.37) и (2.40) аппроксимируются системой конечноразностных уравнений и решаются совместно последующими итерациями до удовлетворения граничным условиям (2.38).

Развёрнутая поверхность подшипника представляется в виде прямоугольной области интегрирования уравнения (2.37). При отсутствии перекосов вала в подшипниках можно рассматривать только половину развёртки подшипника по длине благодаря симметрии распределения давления в смазочном слое относительно середины его длины. Вследствие этого можно уменьшить шаг сетки и увеличить точность аппроксимации производных. Половина развёртки разбивается сеткой (рис. 2.18), образованной прямыми, параллельными осям x и z, соответственно с шагом и , где I – количество интервалов между линиями сетки параллельных оси z, K – количество интервалов между линиями сетки параллельных оси x.

При этом количество прямых, параллельных оси z выбирается таким образом, чтобы линия наддува совпадала с одной из этих прямых. Так как рассматривается только половина развёртки подшипника, а для определения неизвестных давлений на границе области нужны значения давлений окрестных точек, то проводится дополнительная линия с индексом k = K+1 и i = I+1. Значения давлений на них задаются из условия симметрии распределения давления в подшипнике: ; ; .

2

индексы линий

параллельных

оси

0 I, I+1

индексы линий,

параллельных

оси

Рис. 2.18. Сеточная область

Давление на торцах подшипника определяется из граничных условий

(2.41)

За начало отсчёта углов принимается сечение с наименьшей толщиной смазочного слоя.

Каждый узел конечно – разностной сетки обозначается двумя индексами i, k, где i – номер линии, параллельной оси z, а k – номер линии, параллельной оси x. Производные, входящие в уравнение (2.37), аппроксимируются обычными трёхточечными центральными разностями [2,3]:

;

;

; (2.42)

.

Кольцевой зазор подшипника изменяется по закону

в безразмерном виде

,

где – относительный эксцентриситет.

Таким образом, уравнение (2.37) заменяется эквивалентной системой конечно-разностных уравнений, которые имеют вид

, (2.43)

где – относительная длина подшипника.

По этому уравнению можно найти давление во всех узлах сетки, не лежащих на линии наддува. На линиях наддува первая производная имеет разрыв, и аппроксимация трёхточечными центральными разностями неприменима. Поэтому производные уравнения (2.40) аппроксимируются по интерполяционной формуле Ньютона [41]

,

. (2.44)

Уравнение (2.40) приближённо заменяется уравнениями в конечных разностях:

(2.45)

при ;

при ; (2.46)

.

Систему уравнений (2.44) можно решить последующими итерациями методом Зейделя до удовлетворения граничным условиям (2.41) и (2.45) или (2.46). Сходимость итерационного процесса зависит от выбора начальных приближений давления в узлах сетки. В качестве начального приближения принимается распределение давлений в смазочном зазоре подшипника, рассчитанное для случая одномерного течения газа в зазоре при критическом расходе газа. Массовый расход газа на единицу ширины при изотермическом течении газа между параллельными пластинами рассчитывается по формуле [80]

. (2.47)

Из условия изотермичности процесса

. (2.48)

В начале проектирования обычно неизвестно, так как неизвестна температура газа в смазочном слое. Учитывая, что температура газа в окрестности питателя резко возрастает вследствие скачков уплотнений и при дальнейшем течении газа в зазоре устанавливается из условия интенсивного теплообмена со стенками [104, 105, 123, 124, 155, 156], можно температуру газа в зазоре принимать равной температуре газа, подаваемого на смазку. В этом случае

и

. (2.49)

Конечно, это справедливо только для теплоизолированного подшипника или, если температура газа, подаваемого на смазку, равна температуре окружающей среды.

Если произвести замену переменных и перейти к безразмерным величинам, то

. (2.50)

Приравнивая этот расход газа к расходу через питатель, также найденному для единицы длины кольцевого зазора, можно определить давление газа за питателями на входе в зазор. Для случая критического расхода газа

или

. (2.51)

После определения распределения давления в смазочном слое подшипника легко можно рассчитать интегральные характеристики опоры: несущую способность, жёсткость, момент и мощность трения, расход газа на смазку. Проекции главного вектора сил давления на линию центров и направление, перпендикулярное ей, в размерном виде можно определить по формулам

,

. (2.52)

Двойка перед интегралом учитывает то, что интегрирование происходит по 1/2 длины подшипника. Несущая способность подшипника

. (2.53)

В безразмерном виде, так как , а ,

,

. (2.54)

Коэффициент несущей способности (удельная подъёмная сила на единицу площади проекции подшипника)

(2.55)

При численном интегрировании, если известно давление в узлах сетки, проекция главного вектора сил давления на линию центров равна сумме векторов сил давления сеточного прямоугольника

. (2.56)

Переходя к безразмерным переменным, получим (2.57)

Аналогично (2.58)

Угол положения линии центров

. (2.59)

Жёсткость смазочного слоя подшипника определяется как

(2.60)

Жёсткость, выраженная через безразмерные переменные

. (2.61)

Безразмерная жёсткость

. (2.62)

Таким образом, параметр жёсткости для определенной конструкции подшипника и заданных параметров наддува газа в смазочный слой равен наклону кривой, построенной в координатах в точке, равной заданному значению относительного эксцентриситета . Следовательно, максимальная жёсткость опоры, которая часто является целью проектирования, может быть найдена по максимальному значению угла наклона.

Момент, создаваемый силами трения, действующий на элемент поверхности цапфы площадью [144],

. (2.63)

Окружная составляющая касательного напряжения

. (2.64)

Таким образом, если геометрия смазочного слоя, вязкость газа и угловая скорость цапфы заданы, то трение на её поверхности однозначно зависит от распределения давления в смазочном слое. Момент сил трения действующий со стороны смазочного слоя на цапфу

. (2.65)

Цифра 2 перед интегралом учитывает, что интегрирование производится только по длины подшипника.

Если перейти к безразмерным переменным

. (2.66)

При численном интегрировании, если известно давление в узлах сетки, а также учитывая, что в цилиндрическом подшипнике , .

Мощность, затрачиваемая на преодоление сил трения в подшипнике

. (2.67)

Суммарный массовый расход через сечение x = const в направлении оси подшипника составит [80]

. (2.68)

Так как после численного решения уравнения Рейнольдса известны значения давления в сеточных узлах области интегрирования приближенно расход удобно определить на ЭВМ суммированием расходов через прямоугольники, одна сторона которых равна , а другая – толщина смазочного слоя. Частную производную можно аппроксимировать по формуле

, (2.69)

а расход газа на подшипник выразить через

. (2.70)

Если произвести замену переменных и перейти к безразмерным величинам, то

. (2.71)

Анализируя выраженные в безразмерной форме исходные уравнения (2.37) с граничными условиями (2.38) и (2.45),(2.46), можно сделать вывод, что для подшипников с надувом газа распределение давления в смазочном слое, а следовательно и интегральные характеристики, являются функцией нескольких безразмерных комплексов, т.е.

, (2.72)

где – число подшипника (параметр сжимаемости).

Если основные уравнения и граничные условия, полные и корректные, то полученные параметры образуют систему, необходимую и достаточную для моделирования [83]. Поэтому все результаты расчётов и экспериментов целесообразно представлять в зависимости от этих параметров. Так как уравнения отражают математическую модель явления, а не реальное явление, то они обладают некоторой степенью неопределенности и неточности. Слово "полные" означает, что все действительно важные физические явления отражены в математической модели. Окончательное утверждение о верности математической модели, а следовательно и о полученных комплексах подобия, можно сделать после экспериментальной проверки.

Программа расчёта интегральных характеристик двухрядных радиальных подшипников с наддувом газа на языке программирования Фортран представлена в приложении Б. Блок-схема программы показана на рис. 2.19

ПУСК

Ввод значений РS, RS,. ……

Резервирование памяти для массивов

нет

Проверка условия I=12

Проверка условия P/,K/> PK нет

Вычисление P/I, K/ по формуле (2,46)

Вычисление P/I, K/ по формуле (2,45)

Вычисление давлений в узлах сетки по формуле (2,43)

Проверка P/I, K/-PI/I, K//<ε

Расчёт несущей способности, расхода газа

на смазку, момента, мощности трения

Вывод значений на печать

СТОП

Рис. 2.19. Блок-схема программы расчёта двухрядных цилиндрических

подшипников с наддувом газа

2.4. Расчёт осевых подшипников с наддувом газа

При расчёте упорных кольцевых подшипников с наддувом газа (рис. 2.20) уравнение Рейнольдса для газовой смазки можно записать в виде [80]

, (2.73)

где Р – давление в смазочном слое.

В цилиндрических координатах это уравнение имеет вид

. (2.74)

Граничными условиями будут давления:

на торцах подшипника при

(2.75)

а также в смазочном зазоре на кромках питателей, которые в начале расчёта обычно не известны.

R₁

R₂

Ri

Рис. 2.20. Осевой подшипник

Сложность при решении состоит в том, что смазочный слой в рассматриваемом случае представляет собой многосвязную область. Поэтому при расчёте дискретные питатели, расположенные на одной окружности, заменяются эквивалентной им по расходу "линией наддува" [58, 61, 225]. При этом область интегрирования уравнения (2.74) становится трёхсвязной, т. е. при решении можно рассматривать три кольца с границами ,  и . Следовательно, если будут известны давления в смазочном слое на линиях наддува, для определения распределения давления в смазочном слое подшипника необходимо решить известную задачу Дирихле. Интегрируя уравнение (2.74), получим

, (2.76)

где С₁ и С₂ – постоянные интегрирования.

Рассмотрим первую область:

; ; ;

; , (2.77)

где – давление на первой линии наддува.

Если перейти к относительным величинам

, , , (2.78)

уравнение (2.77) можно записать в виде

. (2.79)

Вторая область:

; ; ; ; ,  (2.80)

где – давление на второй линии наддува.

В безразмерной форме

. (2.81)

Третья область:

; ;

; ; . (2.82)

В безразмерной форме

. (2.83)

По уравнениям (2.79), (2.81), (2.83) можно найти распределение давления в смазочном слое подшипника, если будут известны граничные давления , . Эти давления можно найти из условия баланса расходов газа через дискретные питатели в эквивалентную им «линию наддува» [ 225].

Критический расход газа через все питатели, расположенные на окружности можно определить по формуле изоэнтропийного истечения. При

, ( 2.84)

где _p – коэффициент расхода при истечении через питатель;

d – диаметр питателя;

с – зазор в подшипнике;

N – количество питателей;

_s – плотность газа, подаваемого на смазку.

Массовый расход при изоэнтропийном истечении газа через линию наддува, отнесённый к единице её длины рассчитывается по формулам

при

при . (2.85)

Массовый расход газа через единицу ширины смазочного зазора при изотермическом потоке газа [80]

, (2.86)

где  – динамическая вязкость газа.

При переходе к безразмерным величинам, учитывая равенство для изотермического процесса , получим

. (2.87)

Производные до и после линии наддува обозначим соответственно

и .

Уравнение баланса массовых расходов через единицу длины "линии наддува" и единицу ширины смазочных зазоров обоих областей имеет вид

, (2.88)

отсюда

. (2.89)

Поскольку на "линии наддува" производные имеют разрыв, аппроксимировать их можно по интерполяционной формуле Ньютона. Для перехода к конечно-разностным уравнениям выделим в окрестности питателей в обеих областях по две вспомогательные окружности с радиусами R_n-2, R_n-1, R_n+1, R_n+2, отличающимися друг от друга на  r, и производные выразим через конечные разности

, ,

где P_n-2,P_n-1,P_n+1,P_n+2 – безразмерные давления на радиусах R_n-2, R_n-1, R_n+1, R_n+2, соответственно.

Уравнение (2.89) приближённо заменяется уравнениями в конечных разностях

(2.90) при     ,

, (2.91)

при ,

где .

ОпределитьP_n можно решая совместно уравнения (2.79), (2.81), (2.83) и (2.90), (2.91) итерационным методом. После определения по уравнениям (2.79), (2.81) и (2.83) находится распределение давления в смазочном слое подшипника. При известном распределении давлений не представляет труда определение интегральных характеристик подшипника: несущей способности, жёсткости, расхода газа на смазку, момента и мощности трения. Блок схема программы показана на рис. 2.21. Программы расчета на языках программирования Бейсик и Фортран представлены в приложении В и в приложении Г.

ПУСК

Ввод исходных данных

нет

Проверка условия I≤I1

Проверка условия I<I1 нет

Вычисление P/I/ по формуле (2,79)

Проверка условия P/I/>РК нет

Вычисление P/I/ по формуле (2,91)

Вычисление P/I/ по формуле (2,90)

Проверка условия I≤12 нет

Проверка условия нет

I<12

Вычисление P/I/ по формуле (2,81)

Вычисление P/I/ по формуле (2,83)

нет

Проверка P/I -PI/I/<ε

Расчёт несущей способности, расход газа

на смазку, момента, мощности трения

Вывод значений на печать

СТОП

Рис. 2.21 Блок-схема программы расчёта осевых подшипников

с наддувом газа

2.5. Расчёт радиальных лепестковых газодинамических подшипников

Для определения основных интегральных характеристик (несущей способности, момента и мощности трения) радиального газодинамического подшипника необходимо решить дифференциальное уравнение

, (2.92)

где h – местная толщина смазочного слоя; P – давление газа в слое;  – динамическая вязкость газа; V – окружная скорость цапфы; x, z – декартовые координаты, ось x направлена по оси подшипника.

Поскольку в подшипниках с газовой смазкой температура газа в смазочном слое изменяется незначительно, можно считать  = const, а уравнение (2.92) записать в виде

. (2.93)

Это уравнение можно получить из уравнения (2.15) при переходе от цилиндрических координат к декартовым.

Если h = f(x, z), уравнение (2.93) можно записать как

или . (2.94)

При переходе к относительным координатам

; ; ; , (2.95)

где P_a – давление на торцах подшипника, c – радиальный зазор в подшипнике при концентрическом положении шипа, – относительная длина подшипника, L – 1/2 длины подшипника,  – угловая координата, отсчитываемая от минимального зазора на линии центров в направлении вращения.

Производные, входящие в уравнение (2.94), можно записать следующим способом

; ; ;

(2.96)

Уравнение (2.94) в относительных координатах будут иметь вид

или

(2. 97)

Результаты решения этого уравнения будут существенно зависеть от соотношения  R²  P_a c². В 1949 г. отечественный учёный С.А. Шейнберг [248, 249] предложил соотношение называть числом подшипника и рассматривать его в качестве критерия подобия газовой смазки. В зарубежной литературе его часто называют числом сжимаемости подшипника, обозначая символом . Производные, входящие в уравнение (2.97), аппроксимируем трехточечными центральным разностями

(2.98)

где – номер линии сетки, параллельной оси z; к – номер линии сетки, параллельной оси x.

Произведя ряд алгебраических преобразований можно получить эквивалентную уравнению (2.97) систему конечно-разностных уравнений

(2.99)

Граничными условиями являются давления на торцах подшипника. Если давление одинаково и равно P_a, то в безразмерной форме его можно выразить как

(2.100)

Для того чтобы решить систему конечно-разностных уравнений (2.99) с граничными условиями (2.100), необходимо знать зазор между лепестком и цапфой в каждом узле сетки, что представляет достаточно сложную задачу для лепесткового подшипника.

Конструктивная схема радиального лепесткового газодинамического подшипника с неперекрывающимися лепестками и расположенной под ними упругой подложкой, выполненной в виде гофрированной ленты, показана на рис. 2.22. Здесь 1 – гофрированный упругий элемент, 2 – лепесток, 3 – фиксатор, 4 – цапфа.

Для простоты и наглядности нахождения местной толщины смазочного слоя при анализе эластогидродинамики податливого газодинамического подшипника принимают следующие допущения [265]

1. Жесткость гофрированной ленты S однородна и постоянна по всей поверхности подшипника и не зависит от суммы деформаций гофров.

2. Лепесток не деформируется относительно гофров, т. е. не прогибается во впадины между гофрами, но копирует деформацию гофр.

3. Деформация обеих лент зависит от силы, приложенной в отдельной точке.

При этих допущениях местную толщину кольцевого зазора в подшипнике можно выразить в виде

(2.101)

где с – радиальный зазор в подшипнике при концентрическом положении цапфы;  = е  с – относительный эксцентриситет; а – коэффициент, характеризующий жесткость гофрированной ленты;  – угловая координата.

За начало отсчета принимается линия центров в точке минимального зазора. Для нахождения коэффициента а запишем выражение для жесткости гофрированной ленты на единицу ее длины в осевом направлении

(2.102)

где F – нагрузка, действующая на единицу ширины гофра,  – деформация гофра под действием этой нагрузки.

Деформация гофра

(2.103)

где B – шаг гофр, а – BS.

В безразмерном виде деформация гофра

(2.104)

где  = c.

Жесткость гофров, пренебрегая трением, можно выразить в виде [265]

(2.105)

где E – модуль упругости материала гофрированной ленты; t – толщина гофрированной ленты;  – число Пуассона; ₀ – 1/2 ширины гофра.

Безразмерная деформация гофр

(2.106)

Местная толщина кольцевого смазочного зазора в безразмерном виде

(2.107)

где

(2.108)

Вывод результатов расчета по этой программе показан на рис. 2.21, 2.22.

Здесь в табличной форме выведены относительные зазоры h/c в узлах сетки первого лепестка от линии центров и эпюра давления этого лепестка. Некоторые результаты расчетов показаны на рис. 2.23 – 2.27.

Рис. 2.22. Радиальный лепестковый газодинамический подшипник: 1– гофрированная упругая лента, 2 – лепесток, 3 – место сварки, 4 – цапфа

На рис. 2.23 показана зависимость коэффициента несущей способности от относительного эксцентриситета при различных количествах лепестков в подшипниках и угле установки лепестков – 90. Угол установки лепестка _уст – это угол между вертикальной осью подшипника и линией, соединяющей центр подшипника с началом лепестка (рис. 2.23).



Рис. 2.23. Зависимость коэффициента несущей способности от относительного эксцентриситета:  = 6,59;  = 1; _уст.= 90

Максимальной несущей способностью при всех эксцентриситетах обладает подшипник с одним лепестком. Обусловлено это тем, что подшипник с одним лепестком имеет меньшую протяженность границ относительно площади лепестка и, поэтому, меньшую зону падения давления на краях лепестков.

На рис. 2.24 показана зависимость коэффициента несущей способности подшипника от угла установки лепестка. Угол установки лепестка должен быть больше угла линии положения центров цапфы и подшипника, чтобы максимально использовать зону минимального зазора в подшипнике и иметь наибольшую длину конфузорного участка.

Рис. 2. 24. Зависимость коэффициента несущей способности от угла

установки лепестка:  = 6,59;  = 1;  = 0,6

Подшипник с одним лепестком имеет большую несущую способность и более широкий диапазон углов установки, при которых несущая способность высокая. Поэтому следует рекомендовать проектировать радиальные ЛГП с одним лепестком. Но при этом следует учитывать, что в радиальном ЛГП в зонах диффузорного течения газа возникает разряжение газа и лепесток может прижиматься к цапфе. При этом возрастает трение, износ подшипника, возможен отрыв лепестка. Для предотвращения этого следует предусматривать определенную защиту, например: в диффузорной части лепесток выполнять перфорированием или прикреплять лепесток к корпусу подшипника.

На рис. 2.25 показана зависимость угла положения линии центров от относительного эксцентриситета при различных углах установки лепестка. Подшипник с одним лепестком. Угол положения линии центров уменьшается с возрастанием угла установки лепестка.



Рис. 2. 25. Зависимость угла положения линии центров от относительного

эксцентриситета при различных углах установки лепестка:  = 6,59;  = 1;

подшипник с одним лепестком

На рис. 2.26 показана зависимость коэффициента несущей способности от числа подшипника  при различных толщинах гофрированной подложки. Подшипник с одним лепестком, угол установки 90^о.



Рис. 2.26. Зависимость коэффициента несущей способности от

числа подшипника

Наибольшей несущей способностью обладает подшипник с толщиной подложки 1 мм, которая в рассматриваемом диапазоне нагрузок практически не деформируется. То есть обычный газодинамический подшипник с недеформируемыми поверхностями обладает большей несущей способностью по сравнению с цилиндрическими ЛГП с неперекрывающимися лепестками.

Объясняется это тем, что в газодинамических подшипниках с недеформируемыми поверхностями возможно большее разряжение в ненагруженной диффузорной части подшипника, что увеличивает несущую способность.

Но выигрыш в несущей способности небольшой и он полностью компенсируется лучшей работоспособностью ЛГП. При малых зазорах в подшипнике с недеформируемыми поверхностями невозможно обеспечить работу горячей машины вследствие температурных расширений цапфы и подшипника и заклинивания цапфы в подшипнике. В ЛГП опасность заклинивания существенно меньше из-за упругих свойств подложки.

На рис. 2.27 показана зависимость мощности трения от числа подшипника.



Рис. 2.27. Зависимость мощности трения от относительного

эксцентриситета при различных значениях 

Для повышения несущей способности радиального ЛГП с упругой подложкой целесообразно при проектировании выполнить протяженность конфузорного участка смазочного зазора подшипника больше протяженности диффузорного участка. Это возможно обеспечить в двухцентровых подшипниках, когда для горизонтальных роторов диаметр подшипника в вертикальной плоскости несколько больше диаметра подшипника в горизонтальной плоскости.