Рекомендации по выполнению работы.
Вариант исходных данных генерируется при выборе пункта меню «Файл»-«Новый». Все необходимые вычисления производятся при нажатии кнопки «Расчет». В окне появляется графическое представление реализаций случайного процесса. При нажатии кнопки «Button2» в окне появляется графическое представление рассчитанной нормированной корреляционной функции.
1. Определение МОЖ процесса mx(t): суммируем значения по столбцам и делим на n=12. Заполняем таблицу 2:
Таблица 2
Функция mx(t).
t |
0 |
0.4 |
0.8 |
1.2 |
1.6 |
2.0 |
2.4 |
1 |
-0.07 |
-0.057 |
0.00 |
0.037 |
-0.057 |
-0.093 |
0.036 |
2. Определение корреляционной функции Kx(t,t'):
2.1. Вычисляются дисперсии в каждом сечении: суммируются квадраты чисел, стоящих в соответствующих столбцах; сумма делится на n=12; из результата вычитается квадрат соответствующего математического ожидания- получается статистическая дисперсия; для получения несмещенной оценки дисперсии результат умножается на поправку n/(n-1)=12/11. Полученные значения размещаются по главной диагонали матрицы (табл.3).
2.2.2. Вычисляются корреляционные моменты: для вычисления момента, отвечающего двум заданным сечениям, перемножаются числа, стоящие в соответствующих столбцах, произведения складываются алгебраически, полученная сумма делится на n=12, из результата вычитается произведение соответствующих математических ожиданий; для получения несмещенной оценки момента результат умножается на n/(n-1)=12/11. Полученные значения размещаются по диагоналям матрицы (табл. 3).
Таблица 3
Функция Kx(t,t').
t |
0 |
0.4 |
0.8 |
1.2 |
1.6 |
2.0 |
2.4 |
0 |
0.1632 |
1.1379 |
0.0795 |
0.0457 |
-0.0106 |
-0.0642 |
-0.0648 |
0.4 |
|
0.2385 |
0.2029 |
0.1621 |
0.0827 |
0.0229 |
0.0251 |
0.8 |
|
|
0.2356 |
0.2152 |
0.1527 |
0.0982 |
0.0896 |
1.2 |
|
|
|
0.2207 |
0.1910 |
0.1491 |
0.1322 |
1.6 |
|
|
|
|
0.2407 |
0.2348 |
0.1711 |
2.0 |
|
|
|
|
|
0.2691 |
0.2114 |
2.4 |
|
|
|
|
|
|
0.2878 |
По главной диагонали таблицы 3 стоят дисперсии:
t |
0 |
0.4 |
0.8 |
1.2 |
1.6 |
2.0 |
2.4 |
Dx(t) |
0.1632 |
0.2385 |
0.2356 |
0.2207 |
0.2407 |
0.2691 |
0.2878 |
Извлекая из этих величин квадратные корни, находим зависимость среднего квадратического отклонения x от времени:
t |
0 |
0.4 |
0.8 |
1.2 |
1.6 |
2.0 |
2.4 |
x (t) |
0.404 |
0.488 |
0.485 |
0.470 |
0.491 |
0.519 |
0.536 |
Деля значения, стоящие в табл.3, на произведения соответствующих x(t) получим таблицу значений нормированной корреляционной функции rx(t,t'):
Таблица 4
Нормированная корреляционная функция rx(t,t')
t t’ |
0 |
0.4 |
0.8 |
1.2 |
1.6 |
2.0 |
2.4 |
0 |
1 |
0.700 |
0.405 |
0.241 |
-0.053 |
-0.306 |
-0.299 |
0.4 |
|
1 |
0.856 |
0.707 |
0.345 |
0.090 |
0.095 |
0.8 |
|
|
1 |
0.943 |
0.643 |
0.390 |
0.344 |
1.2 |
|
|
|
1 |
0.829 |
0.612 |
0.524 |
1.6 |
|
|
|
|
1 |
0.923 |
0.650 |
2.0 |
|
|
|
|
|
1 |
0.760 |
2.4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
Проанализируем полученные данные под углом зрения предполагаемой стационарности случайной функции X(t). Если судить непосредственно по данным, полученным в результате обработки, то можно придти к выводу, что случайная функция стационарной не является: ее матиматическое ожидание не вполне постоянно, дисперсия также несколько меняется со временем, значения нормированной корреляционной функции вдоль параллелей главной диагонали (табл.4) также не вполне постоянны. Однако, принимая во внимание весьма ограниченное число обработанных реализаций (n=12) и в связи с этим наличие большого элемента случайности в статических характеристиках, эти видимые отступления от стационарности вряд ли можно считать значимыми, тем более, что они не носят сколько-нибудь закономерного характера. Поэтому вполне целесообразно будет замена функции X(t) стационарной функцией. Для приведения функции X(t) к стационарной прежде всего осредним по времени математические ожидания в сечениях:
mx=1/7(mx(0)+mx(0.4)+ .... +mx(2.4)) = 0.02
Аналогично:
Dx=1/7(Dx(0)+Dx(0.4)+ .... +Dx(2.4)) = 0.236
x =_Dx = 0.486
Перейдем к построению нормированной корреляционной функции того стационарного процесса, которым можно заменить функцию X(t). Для стационарного процесса корреляционная функция (а значит и нормированная корреляционная функция) зависит только от =t'-t.
Следовательно, при постоянном корреляционная функция должна быть постоянной. В табл.4 постоянному соответствуют: главная диагональ (=0) и параллели этой диагонали (=0.4; =0.8; =1.2 и т.д.). Осредняя значения нормированной корреляционной функции вдоль этих параллелей главной диагонали, получим значения функции x():
Таблица 5
Нормированная корреляционная функция стационарного процесса
|
0 |
0.4 |
0.8 |
1.2 |
1.6 |
2.0 |
2.4 |
x() |
1.00 |
0.84 |
0.60 |
0.38 |
0.13 |
-0.10 |
-0.30 |
x()
Наличие отрицательных значений на графике указывает на то, что в структуре случайной функции имеется некоторый элемент периодичности.